Membros

sexta-feira, 15 de junho de 2012

Transformações de Equações

Para achar algumas relações entre as raízes da equação polinomial

[;a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0;]

sendo [;a_n \neq 0;], usamos as relações de Girard. Por exemplo, se [;x_1,\ldots,x_n;] são as raízes desta equação, então

[;x_1+x_2+\ldots+x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n};]
e
[;x_1x_2\ldots x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n};]

Em alguns casos, temos relações envolvendo as raízes de uma equação polinomial que não consta nas relações de Girard. Por exemplo,
[;\frac{1}{2x_1 - 1} + \frac{1}{2x_2 - 1}+ \ldots +\frac{1}{2x_n - 1};]

Para este caso, transformamos a equação dada de modo que a expressão acima fique no formato de uma das relações de Girard. Exploraremos esta ideia com alguns exemplos.

Exemplo 1: Seja a equação [;ax^3 + bx^2 + cx + d = 0;] cujas raízes são [;x_1;], [;x_2;] e [;x_3;]. Determine uma equação a partir desta cuja soma das raízes seja [;1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3;].

Resolução: Substituímos [;x\;] por [;1/y;] na equação dada, ou seja,

[;0 = ax^3 + bx^2 + cx + d = a\biggl(\frac{1}{y}\biggr)^3 + b\biggl(\frac{1}{y}\biggr)^2 + c\cdot\frac{1}{y} + d \quad \Rightarrow;]

[;dy^3 + cy^2 + by + a = 0 \qquad (1);]

é a equação procurada. Para ver isso, sabemos pelas relações de Girard, que se [;y_1;], [;y_2;] e [;y_3;] são as raízes de [;(1);], então

[;y_1 + y_2 + y_3 = -\frac{c}{d};]
ou seja,
[;\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{c}{d};]

Exemplo 2: Sejam [;x_1;],[;x_2;],[;x_3;] e [;x_4;] raízes da equação

[;x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1 = 0;]
Determine o valor de
[;S = \frac{1}{2x_1 - 1} + \frac{1}{2x_2 - 1} + \frac{1}{2x_3 - 1} + \frac{1}{2x_4 - 1};]

Resolução: Seja [;y = 2x - 1;]. Assim, [;x = (y+1)/2;], de modo que

[;\frac{(y+1)^4}{2^4} + 2\cdot \frac{(y+1)^3}{2^3} + \frac{(y+1)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{4} + \frac{y+1}{2} + 1 = 0;]

[;(y+1)^4 + 4(y+1)^3 + 4(y+1)^2 + 8(y+1) + 16 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1 + 4y^3 + 12y^2 + 12y +;]

[;4 + 4y^2 + 8y + 4 + 8y + 8 + 16 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;y^4+8y^3+22y^2+32y+33 = 0;]

Seja [;z = 1/y;], de modo que

[;\frac{1}{z^4} + 8\cdot \frac{1}{z^3} + 22\cdot \frac{1}{z^2} + 32\cdot \frac{1}{z} + 33 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;33z^4 + 32z^3 + 22z^2 + 8z + 1 = 0;]
Logo,
[;S = \sum_{k=1}^{4}\frac{1}{2x_k - 1} = \sum_{k=1}^{4}\frac{1}{y_k} = \sum_{k=1}^{4}z_k = -\frac{32}{33};]
pela relação de Girard.

Exemplo 3: Se [;x_1;], [;x_2,\ldots, x_n;] são as raízes de

[;x^n + x^{n-1}+\ldots+x^2+x+1 = 0;]
Mostre que
[;\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - x_k} = \frac{n}{2};]

Resolução: Seja [;y = 1 - x;], de modo que [;x = 1 - y;]. Assim,

[;\Rightarrow \quad (1 - y)^n + (1 - y)^{n-1} + \ldots + (1 - y)^2 + (1 - y) + 1 = 0;]

[; \sum_{k = 0}^{n}(-y)^{n - k}{n \choose k} + \sum_{k=0}^{n-1}(-y)^{n-1-k}{n-1 \choose k}+ \ldots + (1 - y)^2 + (1 - y) + 1 = 0;]

[;(-y)^n + {n \choose 1}(-y)^{n-1} + {n-1 \choose 0}(-y)^{n-1} + {n \choose 2}(-y)^{n-2}+;]

[;+ {n-1 \choose 1}(-y)^{n-2} + {n-2 \choose 0}(-y)^{n-2}+\ldots;]

[;\biggl[{n \choose n-1} + {n-1 \choose n-2}+ \ldots + {1 \choose 0}\biggr](-y) + n + 1 = 0;]

Considere agora [;z = -1/y \quad \Rightarrow \quad y = -1/z;]. Assim, obtemos a equação

[;(n+1)(-z)^n + \biggl[{n \choose n-1} + {n-1 \choose n-2}+\ldots+ {1 \choose 0}\biggr](-z)^{n-1} +;]

[;+\ldots + \biggl[{n \choose 1} + {n-1 \choose 0}\biggr](-z) + 1 = 0;]
Logo,
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1 - x_k} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{y_k} = -\sum_{k=1}^{n}z_k;]

[;=-\frac{1}{(-1)^n(n+1)}\sum_{k=0}^{n-1}{n - k \choose n - k - 1}(-1)^{n-1} = \frac{1}{n+1}\sum_{k = 0}^{n-1}{n - k \choose 1};]

[;= \frac{1}{n+1}\sum_{k = 0}^{n-1}(n - k) = \frac{1}{n+1}\cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n}{2};]
Exercícios Propostos:
[;1);] Mostre que se [;x_1;] é uma raiz da equação [;ax^2 + bx + c = 0;], então [;1/x_1;] é raiz de [;cx^2 + bx + a = 0;].

Observação: Esta exercício é a base teórica para achar mentalmente as raízes da equação [;ax^2 + bx + 1 = 0;] que são da forma [;1/x_1;] e [;1/x_2;]. Para isso, basta procurar duas raízes cuja soma é [;-b\;] e cujo produto é [;c;]. Por exemplo, as raízes da equação [;8x^2 - 6x + 1 = 0;] são [;1/4;] e [;1/2;].

[;2);] Sejam [;x_1;], [;x_2;] e [;x_3;] as raízes da equação [;x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0;]. Calcule

[;\frac{1}{x_1^2 + 1} + \frac{1}{x_2^2 + 1} + \frac{1}{x_3^2 + 1};]
Gostará de ler também:
- Cálculo Mental das Raízes de Algumas Equações Quadráticas;
- Alguns Problemas do Dia-a-Dia Via Equações Quadráticas.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 15.6.12
Marcadores:
Reações: 

10 comentários:

  1. Oi, Paulo.

    Aproveitando o assunto, pergunto se a demonstração das Identidades ( ou Somas ) de Newton relativo a soma das potências das raízes envolve matemática muita avançada. Pergunto porque é muito difícel de encontrar a demonstração na net. Vi estas identidades pela primeira vez no livro História da Matemática de Boyer.

    Uma dúvida. Não entendi bem o que se pede nos exemplos [;2;] e [;3;].

    Abraços.

    ResponderExcluir
    Respostas

    1. Envolve derivara de logaritimo neperiano. Encontrei ela nesse livro
      http://www.vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=63
      Dá uma olhada em folhear, talves tenha o método exibido.

      Excluir

    2. Opá. eh um teorema de Girard que envolve derivada. Esse que vc disse não. Vou postá-lo no meu blog.

      Excluir

    3. No excelente livro que cita acima não foi possível ver a demonstração. Tenho uma envolvendo derivada de logaritmo como você citou, mas a prova mais simples é a que você apresentou em seu site.

      Excluir

  2. Olá Aloisio, não conheço estas identidades, irei pesquisar e também elaborar uma demonstração. Digitei tão rápido este post que faltou as perguntas dos exemplos 2 e 3, já fiz as correções necessárias. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

    ResponderExcluir

  4. Aloisio, eu vi a demonstração destas identidades num livro do Antônio Caminha sobre polinômios, caso ajude...

    ResponderExcluir

  6. Fiz para Aloisio Teixeira.
    http://hugocito.wordpress.com/2012/06/24/o-teorema-de-newton/
    Alguem poderia me dizer como fazer os textos matemáticos em blog.
    Escrevi com o editor
    http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=pt-br,
    mas não parece muito bom.

    ResponderExcluir

  7. Olá Hugocito, para escrever em latex no Wordpress, se não estou enganado basta escrever os códigos latex enter dólares: $latex$.

    ResponderExcluir

Assinar: Postar comentários (Atom)