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Uma Abordagem Sobre o Preço Ótimo de Venda

Definir o preço de venda de um produto industrial ou artesanal é algo muito complexo. Sabemos que o preço de venda deve ser de tal forma, que a receita obtida seja maior que os custos de produção, mas também não deve ser muito elevado, pois corre o risco de obter uma receita baixa. Em ambas as situações, buscamos um "preço ótimo de venda" de modo que o lucro seja máximo. 

Neste post, veremos um modo analítico e uma geométrica de obter o preço ótimo de venda de um produto. Para isso, adotaremos duas hipóteses plausíveis. 

Hipótese 1: Os custos de produção é proporcional a quantidade produzida [;x\;], ou seja, [;C(x) = kx;], sendo [;k \geq 0;].

Hipótese 2: O preço de venda [;p(x);] decresce linearmente com a quantidade produzida, ou seja,
 [;p(x) = mx + b \qquad (1);]
com [;m \prec 0;].

Suponhamos agora que para um determinado período de tempo é vendido [;x_1;] unidades de um produto a um preço [;p_1;] e para um preço de venda [;p_2;], ([;p_2 \prec p_1;]) é vendido [;x_2;] unidades deste mesmo produto. Pela hipótese 2, temos o seguinte gráfico:
Nosso objetivo, é achar [;x^{\ast} \succ 0;] tal que o lucro seja máximo. Observe que o preço ótimo de venda é dado por [;p(x^{\ast});]

Proposição 1: O ponto [;(2x^{\ast},k);] pertence ao gráfico da função preço [;p(x);]
Demonstração: Pela hipótese 1, a função custo é [;C(x) = kx;]. A receita [;R(x);] é igual ao produto de unidades vendidas pelo preço de venda, ou seja, 

[;R(x) = xp(x) = x(mx + b) = mx^2 + bx \qquad (2);]

pela expressão [;(1);]. Sendo o lucro dado por [;L(x) = R(x) - C(x);], segue que 

[;L(x) = mx^2 + bx - kx = mx^2 + (b - k)x;]

Sendo [;m \prec 0;], a função quadrática [;L(x);]  assume um valor máximo para [;x = x_v;]. Assim, 
[;x^{\ast} = -\frac{b - k}{2m} = \frac{k - b}{2m} \quad \Rightarrow;] 

[;2mx^{\ast} = k - b \qquad (3);]
 Por outro lado, 
[;m = \frac{\Delta p}{\Delta x} = \frac{p_1 - p_2}{x_1 - x_2} \qquad (4);]
e
[;b = p_1 - mx_1 = p_1 - \frac{p_1 - p_2}{x_1 - x_2}\cdot x_1 = \frac{p_1(x_1 - x_2) - (p_1 - p_2)x_1}{x_1 - x_2} \quad \Rightarrow;] 

[;b = \frac{p_2x_1 - p_1x_2}{x_1 - x_2} \qquad (5);]
Substituindo [;(4);] e [;(5);] na expressão [;(3);], temos:

[;\frac{2(p_1 - p_2)}{x_1 - x_2}x^{\ast} = k + \frac{p_1x_2 - p_2x_1}{x_1 - x_2} \quad \Rightarrow;]
[;2(p_1 - p_2)x^{\ast} = k(x_1 - x_2) + p_1x_2 - p_2x_1 \quad \Rightarrow;]
 [;2x^{\ast}(p_1 - p_2) - (x_1 - x_2)k + x_1p_2 - p_2x_1 = 0 \quad \Rightarrow;]
[;2x^{\ast}\begin{vmatrix}p_1 & 1\\p_2 & 1\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}x_1 & 1\\x_2 & 1\end{vmatrix}k + \begin{vmatrix}x_1 & p_1\\x_2 & p_2\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow;]
[;\begin{vmatrix}2x^{\ast} &  k & 1\\ x_1 & p_1 &  1\\x_2 & p_2 & 1\end{vmatrix} = 0;] 
Exemplo 1: O custo para fabricar uma caixa de madeira é [;R\$ \ 6,00;]. Ao preço de [;R\$ \ 15,00;] são vendidas [;20;] caixas no período de um mês e ao preço de [;R\$ \ 10,00;] são vendidas [;40;] caixas neste mesmo período. Com a hipótese que o preço varia linearmente com a quantidade produzida, determine o preço ótimo de venda. 

Resolução: Neste caso, [;k = 6;], [;p_1 = 15;], [;x_1 = 20;], [;p_2 = 10;] e [;x_2 = 40;]. Pela Prop. 1, temos: 
[;\begin{vmatrix}2x^{\ast} & 6 & 1\\20 & 15 & 1\\40 & 10 & 1\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow \quad 10x^{\ast} + 120 - 400 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^{\ast} = 28\ caixas;]

O ponto [;(x^{\ast},p(x^{\ast}));] também pertence ao gráfico de [;p(x);]. Assim,
 [;\begin{vmatrix}28 & p(28) & 1\\20 & 15 & 1\\40 & 10 & 1\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow \quad p(28) = 13\ reais;]
Observe que o lucro obtido com a venda [;20;] caixas é [;R\$ \ 180,00;] e o lucro obtido com a venda de [;40;]caixas ao preço de [;R\$ \ 10,00;] por caixa é igual a [;R\$ \ 160,00;]. Adotando o preço de [;R\$ \ 13,00;] por caixa, estima-se que venderemos [;28;] caixas com um lucro de [;L(28) = 28\times 13 - 28\times 6 = 196\ reais;]

Veremos na proposição seguinte um método geométrico para achar a quantidade ótima a ser vendida [;x^{\ast};] e o preço ótimo de venda [;p(x^{\ast});]
Proposição 2: Considere o gráfico do preço de venda [;p(x);] versus a quantidade vendida [;x\;] conforme a figura abaixo. Se [;OA = CD = k;] (custo unitário de um produto), então [;OB = x^{\ast};]

Demonstração: De fato, [;\triangle OAB \simeq \triangle BCD;], pois [;OA = CD;], [;A\hat{O}B = C\hat{D}B = 90^{\circ};] e [;O\hat{B}A = C\hat{B}D;] são opostos pelo vértice. Assim, [;OB = BD;]. Sendo [;CD = k;], então [;OD = 2x^{\ast};], pois o ponto [;(2x^{\ast},k);]  pertence ao gráfico de [;p(x);] pela Prop. 1. Logo, 

[;2x^{\ast} = OD = OB + BD = 2OB \quad \Rightarrow \quad OB = x^{\ast};]

Em alguns casos, por exemplo, um produto oriúndo do extrativismo, o custo de produção é nulo. Com a hipótese que o preço decai linermente com a quantidade vendida, podemos também determinar o preço ótimo de venda sabendo o preço e quantidade de dois pontos do gráfico [;p(x);]. Este resultado é apresentado no corolário abaixo.

Corolário 1: Se o custo de produção é nulo, então o preço ótimo de venda é igual a [;p(0)/2;].
Demonstração: Considere a figura acima. Neste caso, [;k = 0;], de modo que [;D = E \ \Rightarrow \ OB = BE;]. Por semelhança de triângulos, temos:
[;\frac{1}{2} = \frac{BE}{OE} = \frac{p(x^{\ast})}{p(0)} \quad \Rightarrow \quad p(x^{\ast}) = \frac{p(0)}{2};]

Corolário 2: Quanto menor o custo unitário de um produto, menor será o preço ótimo de venda. Matematicamente, temos:

[;k_1 \prec k_2 \quad \Rightarrow \quad p(x_{1}^{\ast}) \prec p(x_{2}^{\ast});]
A demonstração segue da figura acima e será deixada para o leitor.

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