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A Matemática dos Quadrados Mágicos de Ordem 3

Definição 1: Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de [;n;] lados, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante. 

Sua origem não é bem definida, mas foram muito populares na Idade Média pelo seu uso em pentáculos e talismãs. No post, Alguns Fatos Sobre os Quadrados Mágicos, é apresentada uma breve história sobre o assunto e também alguns quadrados mágicos construídos por matemáticos e cientistas famosos. Há muitas referências sobre assunto ensinando a montar quadrados [;3\times 3;], [;4\times 4;], [;5\times 5;], etc. através de algumas regras não justificadas. 

Neste post, restrigiremos o nosso estudo aos quadrados mágicos [;3\times 3;]. Há muitas formas e macetes que explicam como podemos distribuir os números de [;1;] a [;9;] de modo a formar um quadrado mágico. Estes macetes apesar de eficazes, carecem de justificativas matemáticas e por mais que seja penoso ou inviável buscarei apresentar o assunto nos moldes do rigor grego.

Definição 2: Um quadrado mágico de ordem [;3;] ou [;3\times 3;] é uma matriz quadrada [;A = (a_{ij})_{3\times 3};] cujas entradas [;a_{ij} \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\};] e cuja a soma dos elementos de quaisquer linhas, colunas ou diagonais é constante. 

Para prosseguir o assunto, usaremos as seguintes notações. 
[;i);] [;l_i;] representa a soma dos elementos da i-ésima linha, sendo [;1 \leq i \leq 3;].
[;ii);] [;c_j;] representa a soma dos elementos da j-ésima coluna, sendo [;1 \leq j \leq 3;].
[;iii);] A soma dos elementos da diagonal principal será denotada por [;d_1;] e dos elementos da diagonal secundária por [;d_2;]

Definição 3: Chama-se constante mágica, denotada por [;k;] a soma dos elementos de uma linha, de uma coluna ou uma diagonal.

Proposição 1: Para o quadrado mágico de ordem [;3;], temos [;k = 15;]
Demonstração: Note que [;k = l_1 = l_2 = l_3;], de modo que
[;3k = 3l_1 = l_1 + l_2 + l_3 = \sum_{k=1}^{9}k = 45 \quad \Rightarrow \quad k = 15;] 
Definição 4: Dado um quadrado mágico de ordem [;3;], os elementos [;a_{11},a_{13},a_{31};] e [;a_{33};] são os elementos periféricos, [;a_{12},a_{21},a_{23};] e [;a_{32};] os elementos interiores. O elemento [;a_{22};] será chamado de elemento central.

Proposição 2: Para os elementos interiores e periféricos de um quadrado mágico de ordem [;3;], temos 
[;\begin{cases}a_{11} + a_{33} = a_{13} + a_{31} \qquad (1)\\a_{12} + a_{32} = a_{21} + a_{23}  \qquad (2)\end{cases};]
Demonstração: Note que
[;d_1 = d_2 \quad \Rightarrow \quad a_{11} + a_{22} + a_{33} = a_{31} + a_{22} + a_{13};]
donde segue a identidade [;(1);].  A outra segue do fato que [;l_2 = c_2;].
Proposição 3: No quadrado mágico de ordem [;3;], temos [;a_{22} = 5;].
Demonstração: Note que a soma dos elementos periféricos, dos elementos interiores com o elemento central é igual a [;45;], ou seja:
[;(a_{11} + a_{33} + a_{13} + a_{31}) + a_{22} + (a_{12} + a_{32} + a_{21} + a_{23}) = 45 \quad \Rightarrow;]
 [;(d_1 - a_{22}) + (d_2 - a_{22}) + a_{22} + (c_2 - a_{22}) + (l_2 - a_{22}) = 45 \quad \Rightarrow;]
 [;d_1 + d_2 + c_2 + l_2 = 3a_{22} + 45 \quad \Rightarrow \quad 3a_{22} = 4k - 45 = 4\cdot 15 - 45 = 15;]
donde segue o resultado.
Corolário 1: As expressões [;(1);] e [;(2);] são iguais a [;10;].
Demonstração: De fato,
[;a_{11} + a_{33} = l_1 - a_{22} = 15 - 5 = 10;]
e
[;a_{13} + a_{31} = d_2 - a_{22} = 15 - 5 = 10;]

Proposição 4: Os elementos periféricos são todos pares, isto é,[;\{a_{11},a_{13},a_{31},a_{33}\} = \{2,4,6,8\};]
Demonstração:  Sejam [;P=\{2,4,6,8\};] e [;I = \{1,3,7,9\};]. Suponhamos por absurdo que [;a_{11},a_{13},a_{31};] ou [;a_{33} \notin P;]. Sendo [;a_{22}=5;], então [;a_{11},a_{13},a_{31};] e [;a_{33} \in I;]. A figura abaixo representa uma configuração possível sob esta hipótese. As outras configurações são obtidas por rotações. 
Mas, nesta configuração temos que [;l_1;] é maior que a constante mágica ([;k = 15;]). Logo, os elementos periféricos são pares e consequentemente, os elementos interiores são ímpares.

Outra consequência direta deste resultado é que [;\{a_{11},a_{33}\} = \{2,8\};] ou [;\{a_{11},a_{33}\} =\{4,6\};]. Temos assim, a possível configuração para o quadrado mágico de ordem [;3;]. A outra é obtida por rotação.
Proposição 5: A única disposição possível dos elementos ímpares no quadrado mágico de ordem [;3;] deve ter os elementos [;1;] e [;3;] adjacentes ao elemento [;8;].

Demonstração: Partindo da última figura, temos as seguintes possibilidades:
As possibilidades II), III) e IV) não cumpre a exigência da constante mágica, donde segue o resultado. 

Temos assim, um algoritmo para preencher o quadrado mágico de ordem [;3;]
Primeiro: Coloque o [;5;] no centro do quadrado mágico. 
Segundo: Coloque em seguida o [;8;] na primeira casa da primeira linha. Portanto, o elemento da última linha e última coluna é igual a [;2;].
Terceiro: Coloque os elementos [;1;] e [;3;] adjacentes ao elemento [;8;].
Quarto: Complete os demais elementos usando a exigência da constante mágica, ou seja, a soma dos elementos de quaisquer linhas, colunas ou diagonais deve ser igual a [;15;].

Uma das configurações obtidas (temos duas) é dada na figura abaixo:
Gostará de ler também:

2 comentários:

  1. Muito interessante o post Professor ! É insteressante tentar criar um algoritmo que seja capaz de resolver quadrados mágicos de qualquer ordem (se é que isto é possível!).

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  2. Pelo para os quadrados mágicos de soluções únicas acredito que isso seja possível. Para os quadrados mágicos de ordem 4 existem várias formas de resolvê-los, mas não conheço nenhum tratamento matemático sobre o assunto. Acho que é possível também usar um programa de computador em que analisa as combinações de um número finito de possibilidades para formar um quadrado mágico. Eu prefiro deduzir algumas propriedades através de recursos algébricos. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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