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Tangentes em Curvas Polares

Em coordenadas polares, é muito útil conhecer a inclinação da reta tangente a curva [;r = f(\theta);]. As equações paramétricas desta curva são dadas por:

[;\begin{cases}x(\theta) = r\cos \theta = f(\theta)\cos \theta\\y(\theta) = r\sin \theta = f(\theta)\sin \theta\\\end{cases};]
Deste modo, usando a técnica de derivação de curvas paramétricas, temos:
[;\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{f^{\prime}(\theta)\sin \theta + f(\theta)\cos \theta}{f^{\prime}(\theta)\cos \theta - f(\theta)\sin \theta} \qquad (1);]
As tangentes horizontais são determinadas fazendo [;\frac{dy}{dx} = 0;], desde que [;\frac{dx}{d\theta} \neq 0;]

Exemplo 1: Ache os valores de [;\theta;] para os quais a inclinação a circunferência [;r = 2\cos \theta;] é horizontal. 

Resolução: Considere a figura abaixo:

Sendo [;f(\theta) = 2\cos \theta;], então [;f^{\prime}(\theta) = -2\sin \theta;]. Assim, 

[;\frac{dy}{d\theta} = 0 \quad \Rightarrow \quad -2\cos \theta\cdot \cos \theta - (-2\sin \theta)\cdot \sin \theta = 0 \quad \Rightarrow;]
[;2\cos^2 \theta - 2\sin^2 \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(2\theta) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\theta = \pi/2 \quad \text{e} \quad 2\theta = -\pi/2;]

ou seja, [;\theta_1 = \pi/4;] e [;\theta_2 = -\pi/4;] conforme a figura acima. 

Exemplo 2: Determine a inclinação a cardióide [;r = 1 + \sin \theta;] no ponto sobre a curva onde [;\theta = \pi/4;].

Resolução: Considere a figura abaixo:
Note que [;f^{\prime}(\theta) = \cos \theta;], de modo que 

[;\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \theta \cdot \cos \theta + (1 + \sin \theta)\cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta - (1 + \sin \theta)\sin \theta};]
Para [;\theta = \pi/4;], segue que 
[;\frac{dy}{dx}\mid_{\theta = \pi/4} = - (\sqrt{2} + 1);]
Uma expressão mais simples que a expressão [;(1);] para tangentes em curvas polares é obtida adotando o ângulo [;\psi;] formado pelo raio vetor e pela tangente a um ponto da curva polar [;r = f(\theta);] conforme a figura abaixo.
Note que [;\phi = \theta + \psi;], de modo que 
[;\tan \psi = \tan(\phi - \tan \theta) = \frac{\tan \phi - \tan \theta}{1 + \tan \phi \tan \theta} \qquad (2);]
Mas,
[;\tan \phi = \frac{dy}{dx} = \frac{f^{\prime}(\theta)\sin \theta + f(\theta)\cos \theta}{f^{\prime}(\theta)\cos \theta - f(\theta)\sin \theta} = \frac{f^{\prime}(\theta)\tan \theta + f(\theta)}{f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta};]
Consequentemente,
[;\tan \phi - \tan \theta = \frac{f^{\prime}(\theta)\tan \theta + f(\theta) - \tan \theta [f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta]}{f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta};]
[;= \frac{f(\theta)(1 + \tan^2\theta)}{f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta} = \frac{f(\theta)\sec^2(\theta)}{f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta} \qquad (3);]
e
[;1 + \tan \phi \tan \theta = 1 + \frac{f^{\prime}(\theta)\tan^2\theta + f(\theta)\tan \theta}{f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta};]
[;=\frac{f^{\prime}(\theta)\sec^2(\theta)}{f^{\prime}(\theta) - f(\theta)\tan \theta} \qquad (4);]
Substituindo [;(3);] e [;(4);] em [;(2);], segue que 
[;\tan \psi = \frac{f(\theta)}{f^{\prime}(\theta)};]
Exemplo 3: Determine o ângulo entre a tangente e o raio vetor da curva [;r = e^{\theta};].
Resolução: Sendo [;f(\theta) = f^{\prime}(\theta) = e^{\theta};], da expressão acima segue que

[;\tan \psi = \frac{e^{\theta}}{e^{\theta}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{4};]
Exemplo 4: Mostre que [;\psi = \pi - \theta;] na circunferência [;r = a\sin \theta;].

Resolução: Note que [;f^{\prime}(\theta) = -a\cos \theta;], de modo que 

[;\tan \psi = \frac{f(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} = -\frac{a\sin \theta}{a\cos \theta} = -\tan \theta = \tan(\pi - \theta);]
donde segue o resultado.
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