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Solução Numérica de EDO's Através do Método de Picard

No post Considerações Gerais Sobre EDO's, apresentamos um teorema sobre a existência e unicidade de soluções de um PVI devido conhecido por teorema de Cauchy-Lipschitz-Picard. A prova foi omitida devido aos detalhes técnicos que não são relevantes no momento.

Mas a demonstração baseada no teorema do ponto fixo, estabelece um processo
iterativo de aproximação da solução do PVI

[;\begin{cases}y^{\prime} &= f(x,y)\\y(x_0) &= y_0\end{cases}\qquad (1);]

conhecido por método de Picard (1856 - 1941) é equivalente a determinar [;y;] continuamente diferenciável, que verifica

[;\begin{cases}y_0(x) &= y(a) = \alpha\\y_{j+1} &= \alpha + \int_{a}^{x}f(t,y_j(t))dt, \qquad j = 0,1,\ldots\end{cases}\qquad (2);]

converge para a única solução de [;(1);].

Exemplo 1: Use o método de Picard e resolva o PVI:

[;\begin{cases}y^{\prime} = 2y\\y(0) = 1\\\end{cases};]

Resolução: Note que este PVI é equivalente a

[;y = 1 + \int_{0}^{x}2ydt;]
de modo que,
[;y_1(x) = 1 + \int_{0}^{x}2y_0(t)dt = 1 + \int_{0}^{x}2dt = 1 + 2x;]

[;y_2(x) = 1 + \int_{0}^{x}2(1 + 2t)dt = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!};]

e assim por diante. Por indução finita sobre [;n;], a enésima iterada é dada por

[;y_n(x) = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!}+\ldots + \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{k=1}^{n}\frac{(2x)^k}{k!};]

o qual é a enésima soma parcial da série de Mc-Laurin de [;e^{2x};]. Logo,

[;y_n(x) \to e^{2x} \quad \text{quando} \quad n \to \infty;]

Exemplo 2: Resolva o PVI abaixo através do método de Picard.

[;\begin{cases}y^{\prime} &= x^2 + y^2\\y(0) &= 0\end{cases};]

Resolução: Sendo [;y_0(x) = 0;], segue que

[;y_1(x) = \int_{0}^{x}f(t,y_0(t))dt = \int_{0}^{x}t^2dt =\frac{x^3}{3};]

[;y_2(x) = \int_{0}^{x}f(t,y_1(t))dt = \int_{0}^{x}\biggl[t^2 +\biggl(\frac{t^3}{3}\biggr)^2\biggr ] dt = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63};]

[;y_3(x) = \int_{0}^{x}f(t,y_1(t))dt = \int_{0}^{x}\biggl[t^2 +\biggl(\frac{t^3}{3} + \frac{t^7}{63}\biggr)^2\biggr ] =\frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63} + \frac{2x^{11}}{2079} +\frac{x^{15}}{59535};]

donde segue que a solução aproximada é dada por

[;\phi(x) \simeq \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63} +\frac{2x^{11}}{231} + \frac{x^{15}}{59535};]

Gostará de ler também:
- Equações Diferenciais Exatas;
- EDO's e Juros Continuamente Compostos;
- O Método do Ponto Fixo (Parte 1);
- O Método do Ponto Fixo (Parte 2).

domingo

Segmentos Parabólicos Via Geometria Analítica

Introdução:

Historicamente os gregos abordavam as parábolas, elipses e hipérboles através das seções cônicas que são resultantes da interseção
de um plano com um sólido gerado pela rotação de um reta em torno de um eixo vertical (clepsidra). As seções cônicas possuem diversas aplicações na Matemática, na Física, principalmente em Astronomia.

Arquimedes (287-212 a.C.) em seu livro Quadratura da Parábola apresentou dois métodos para calcular a área de um segmento parabólico: o método da alavanca e o método da exaustão. Ele não conseguiu determinar a área de um segmento elíptico e hiperbólico, pois enquanto que a quadratura de um segmento parabólico envolve apenas um polinômio, a quadratura de segmentos elípticos e hiperbólicos envolvem funções transcendentes, mas é interessante observar que ele descobriu que a área de uma elipse é equivalente a área de um círculo cujo raio é a média geométrica dos semi-eixos da elipse.

Neste artigo, apresentaremos algumas propriedades dos segmentos parabólicos usando as ferramentas da Geometria Analítica. A reta tangente a um segmento parabólico serão abordados de forma elementar, acessível a um estudante que não teve contato com o Cálculo Diferencial e Integral.

Conceitos e Propriedades:

Definição 1: Um segmento de uma curva convexa (tal como uma parábola, elipse ou hipérbole) é a região limitada por uma reta secante e a porção da curva. (ver figura acima)

Neste texto, a curva convexa é a parábola [;\mathcal{P}: \ y = ax^2 + bx + c;] e a reta secante é a reta determinada pelos pontos [;A(x_A,y_A);] e [;B(x_B,y_B);] sobre [;\mathcal{P};]. Assim, um segmento parabólico denotado por [;\mathcal{S}_{AB};] é a região limitada pelo segmento [;AB;] e pela parábola [;\mathcal{P};].

Definição 2: Seja o segmento parabólico [;\mathcal{S}_{AB};] sobre a parábola

Então:
i) O segmento [;AB;] chama-se base do segmento parabólico [;\mathcal{S}_{AB};];
ii) O ponto [;W;] sobre [;\mathcal{S}_{AB};] mais afastado de sua base é chamado de vértice;
iii) A distância do vértice [;W;] a base [;AB;] é a sua altura.

Dizer que o ponto [;W;] está mais afastado da base [;AB;] significa que entre todos os segmentos perpendiculares e limitados pela base [;AB;] e por [;\mathcal{S};], [;RW;] é o maior deles.

Proposição 1: Sejam os pontos [;A(x_A,y_A);] e [;B(x_B,y_B);] sobre a parábola [;\mathcal{P}:\ y = ax^2 + bx + c;]. Então a abscissa do vértice [;W;] sobre [;\mathcal{S}_{AB};] é a média aritmética das abscissas dos pontos [;A;] e [;B;], isto é,

[;x_W = \frac{x_A + x_B}{2};]

Demonstração: Sejam [;C(x_C,y_C);] um ponto sobre [;AB;] de modo que [;CW;] é paralelo ao eixo [;Oy;], [;r: \ y = mx + n;] a equação da reta que passa pelos pontos [;A;] e [;B;] e [;WR = h;], conforme a figura abaixo:

Note que [;\triangle AA'B \sim RWC;], de modo que

[;\frac{AA'}{AB} = \frac{WR}{CW} \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{y_C - y_W} = \frac{x_B - x_A}{AB};]

Sendo
[;y_C = mx_C + n = mx_W + n;]
e
[;y_W = ax_{W}^{2} + bx_{W} + c;]

segue da expressão anterior que

[;h(x_W) = \frac{(x_2 - x_1)}{AB}(mx_W + n - ax_{W}^{2} - bx_{W} - c);]

[;= \frac{(x_2 - x_1)}{AB}[- ax_{W}^{2} +(m - b)x_{W} +n - c];]

Por definição, [;h(x_W);] é o maior entre todos o segmentos perpendiculares traçados da base [;AB;]. Mas isto ocorre se [;x_W;] é a abscissa do vértice da função quadrática acima, ou seja,

[;x_W = -\frac{(m - b)}{2(-a)} = \frac{m-b}{2a} \qquad (1);]

Por outro lado, [;A,B \in \mathcal{P};] de modo que

[;y_A = ax_{A}^{2} + bx_A + c \quad \text{e} \quad y_B = ax_{B}^{2} + bx_B + c;]

Assim,

[;y_B - y_A = a(x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) + b(x_B - x_A) \quad \Rightarrow \quad;]

[;m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = a(x_A + x_B) + b \qquad (2);]

Substituindo [;(2);] em [;(1);], temos

[;x_W = \frac{a(x_A + x_B)}{2a} = \frac{x_A + x_B}{2};]

Note que o eixo da parábola [;\mathcal{P}: \ y = ax^2 + bx + c;] é paralelo ao eixo [;Oy;]. Assim, esta Proposição afirma que toda reta paralela ao eixo da parábola passando pelo vértice de [;\mathcal{S}_{AB};] passa pelo ponto médio [;C;] da base [;AB;].

Dada a parábola [;\mathcal{P}: y = ax^2 + bx + c;] e a reta [;r: \ y = mx + n;], existem somente três posições relativas entre elas:

i) [;\mathcal{P};] e [;r;] são secantes;
ii) [;\mathcal{P};] e [;r;] são tangentes;
iii) [;\mathcal{P};] e [;r;] não possuem pontos em comum.

Em cada um dos casos acima, o discriminante da equação quadrática

[;ax^2 + (b - m)x + c - n = 0;]

é positivo, nulo e negativo respectivamente. Assim, podemos definir o conceito de reta tangente ao segmento parabólico de forma algébrica:

Definição 3: Dizemos que [;r;] é uma reta tangente ao segmento parabólico [;\mathcal{S}_{AB};] definido por [;\mathcal{P};] no ponto [;P_1(x_1,y_1) \in \mathcal{S};] se o discriminante da expressão

[;y_1 + m(x - x_1) = ax^2 + bx + c;]
é nulo.

Proposição 2: A reta [;r;] é tangente no ponto [;P_1(x_1,y_1) \in \mathcal{S}_{AB};] definido por [;\mathcal{P};] se [;m = 2ax_1 + b;].
Demonstração: De fato, sendo [;y_1 = ax_{1}^{2} + bx_1 + c;], então, pela definição acima, o discriminante da equação quadrática

[;ax^2 + bx + c = ax_{1}^{2} + bx_1 + c + m(x - x_1);]
ou
[;ax^2 + (b - m)x + mx_1 - ax_{1}^{2} - bx_1 = 0;]

é nulo, isto é,

[;\Delta = (b - m)^2 - 4a(mx_1 - ax_{1}^{2} - bx_1) = 0 \quad \Rightarrow;]

[;m^2 - 2bm + b^2 - 4ax_1m + 4a^2x_{1}^{2} + + 4a^2x_{1}^{2} + 4abx_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad;]

[;m^2 - 2(2ax_1 + b)m + (2ax_1 + b)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad [m - (2ax_1 + b)]^2 = 0;]

donde segue o resultado.

Proposição 3: A reta tangente que passa pelo vértice do segmento parabólico [;\mathcal{S}_{AB};] definido por [;\mathcal{P};] é paralela a base [;AB;].

Demonstração: Pela Prop. 1, a abscissa do vértice [;W;] do segmento parabólico [;\mathcal{S}_{AB};] é [;x_W = (x_A + x_B)/2;]. Pela Prop. 2, o coeficiente angular da reta tangente passando por [;W;] é

[;m = 2ax_W + b = a(x_A + x_B) + b \qquad (3);]

Por outro lado,

[;m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{ax_{B}^{2} + bx_B + c - (ax_{A}^{2} + bx_A + c)}{x_B - x_A};]

[;= a\frac{x_{B}^{2} - x_{A}^{2}}{x_B - x_A} + b\frac{x_B - x_A}{x_B - x_A} = a(x_A + x_B) + b \qquad (4);]

De [;(3);] e [;(4);] segue o resultado.

Exercício Proposto: Sejam [;C;] o ponto médio de [;AB;], [;W;] o vértice do segmento parabólico [;\mathcal{S};] sobre a parábola [;\mathcal{P}: \ y = ax^2 + bx + c;] e [;r;] a reta tangente passando pelo ponto [;A;]. Se [;D;] é a interseção de [;r;] com o prolongamento de [;CW;], então [;CW = WD;].

Gostará de ler também:
- A Parábola e as Funções Quadráticas;
- Cálculo Mental das Raízes de Algumas Equações Quadráticas;
- A Propriedade Refletora da Parábola;
- O Problema da Bola na Cesta;
- Regra de Descartes e a Equação Quadrática;
- O Volume do Barril Parabólico.