FATOS MATEMÁTICOS: 2012/02

terça-feira, 28 de fevereiro de 2012

O Cálculo Através da História (Promoção!)

Este é o meu primeiro livro publicado e surgiu após ministrar um minicurso de verão no departamento de matemática da Universidade Federal de Lavras (UFLA). O grande diferencial deste livro é a preocupação em expor de forma clara as ideias, com fórmulas e métodos explicados passo a passo, cumprindo um papel inédito na história da matemática. Além disso, ele foi escrito em latex que permite um excelente acabamento final e é ideal para todos os amantes da matemática que deseja aprofundar e conhecer as ideias que levaram ao desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. As características peculiares de cada capítulo e outras informações adicionais podem ser encontradas clicando na imagem acima.

Este livro pode ser adquirido na forma impressa ou e-book no site Clube de Autores. Além disso, os leitores podem ler as primeiras dez páginas e comprovar a qualidade do mesmo.

Com objetivo de divulgar este livro, os primeiros 50 seguidores que desejam concorrerão a um exemplar impresso. Para isso, deixe um comentário com o nome verdadeiro e o nome de seguidor. Cada participante concorrerá com dois números no jogo LOTOMANIA da Caixa Econômica Federal.

Em breve, mais publicações de matemática com assuntos poucos explorados em nossa língua serão lançadas. Qualquer dúvida ou sugestão serão bem-vindas podendo ser acrescentadas numa próxima edição.

Atenciosamente,
Prof. Paulo Sérgio Costa Lino

segunda-feira, 27 de fevereiro de 2012

O Sistema de Coordenadas Polares

Um sistema de coordenadas no plano permite-nos associar um par ordenado de números a cada ponto do plano. Essa ideia simples e profunda que surgiu nos trabalhos dos matemáticos René Descartes e Pierre de Fermat, no século $[;XVII;]$ permite juntamente com o Cálculo investigar as propriedades das curvas através das ferramentas da Álgebra.

Na maioria dos casos, é abordado apenas o sistema de coordenadas retangulare ou cartesianas, no qual a ênfase é colocada sobre as distâncias de um ponto a dois eixos perpendiculares. Em algumas aplicações, tais como a curva descrita por um planeta em torno do sol, é mais vantajoso usar um outro sistema de coordenadas cuja posição de um ponto é descrito por sua direção a partir da origem, e por sua distância da origem. Um tal sistema é chamado de sistema de coordenadas polares.

Na figura acima, temos um ponto $[;P;]$ juntamente com suas coordenadas. A semi-reta $[;OA;]$ é chamado eixo polar e $[;OP = r;]$ é o raio vetor. A direção especificada por um ângulo $[;\theta;]$ em radianos, medida a partir de $[;OA;]$ . Este ângulo $[;\theta;]$ é positivo se for medido no sentido anti-horário e negativo se for medido no sentido horário exatamente como se faz na Trigonometria. A distância é dada pela distância orientada $[;r;]$ , medida a partir da origem ao longo do lado terminal do ângulo $[;\theta;]$ . Os dois números $[;r;]$ e $[;\theta;]$ escritos nesta ordem e denotados por $[;(r,\theta);]$ chamam-se coordenadas polares do ponto. Observe que a semi-reta $[;\theta = 0;]$ é o semi-eixo positivo dos $[;x\;]$ e $[;\theta = \pi/2;]$ é o semi-eixo positivo dos $[;y;]$ e $[;r = 0;]$ indica-se a origem ou polo do sistema de coordenadas polares.

O termo "distância orientada" é devido ao fato de que em algumas situações encontramos $[;r;]$ negativo. Nesse caso, subentende-se que em vez de sair da origem no sentido indicado pelo lado terminal de $[;\theta;]$ nos dirigimos para a origem a ponto, percorrendo uma distância $[;r;]$ no sentido oposto a ele. Para compreender melhor este caso observe a figura abaixo.

Podemos associar o sistema de coordenadas polares com o sistema de coordenadas cartesianas colocando o eixo polar sobre o eixo $[;x\;]$ , de modo que eixo polar $[;OA;]$ aponte para o sentido positivo do eixo $[;x\;]$ como na figura acima. Nesta figura, o ponto $[;A;]$ possui coordenadas $[;(3,\pi/4);]$ , mas este ponto também tem coordenadas polares dadas por $[;A(3,\pi/4 + 2\pi);]$ . Assim, todo múltiplo de $[;2\pi;]$ somado ou subtraído da coordenada $[;\theta;]$ de um ponto produz um outro ângulo com o mesmo lado terminal; portanto, temos uma outra coordenada $[;\theta;]$ do mesmo ponto.

Simmons comenta em seu livro de Cálculo com Geometria Analítica diz: "o fato de que um ponto não é representado por um único par de coordenadas polares é um aborrecimento, embora pequeno. Contudo, é verdade que qualquer par de coordenadas polares dado determina o correspondente ponto sem nenhuma ambiguidade."

Agora, já temos dois sistemas de coordenadas no plano e próximo passo é descobrir o modo de transformar as cordenadas de um sistema nas coordenadas do outro e vice-versa. Para isso, considere a figura abaixo:

Do triângulo retângulo, temos $[;\cos \theta = x/r;]$ e $[;\sin \theta = y/r;]$ . Assim, para transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas, usamos as expressões:

$[;\begin{cases}x = r\cos \theta\\y = r\sin \theta\end{cases};]$

Novamente deste triângulo retângulo, temos

$[;\tan \theta = \frac{y}{x} \quad \Rightarrow \quad \theta = \arctan \frac{y}{x};]$

e pelo teorema de Pitágoras,

$[;x^2 + y^2 = r^2;]$

Estas expressões nos fornece o caminho para transformar coordenadas cartesianas em polares, isto é,

$[;\begin{cases}\theta = \arctan \frac{y}{x}\\r = \sqrt{x^2 + y^2}\\\end{cases};]$

Exemplo 1: Transforme:
$[;a);]$ $[;(3,4);]$ para coordenadas polares;
$[;b);]$ $[;(2,\pi/3);]$ para coordenadas cartesianas.

Resolução:
$[;a);]$ Neste caso, $[;r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5;]$ e $[;\tan \theta = 4/3 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arctan 4/3;]$ .
$[;b);]$ Analogamente, usando as expressões acima, temos

$[;x = 2\cos \pi/3 = 2\cdot 1/2 = 1;]$

$[;y = 2\sin \pi/3 = \sqrt{3};]$

Se o raio vetor $[;r;]$ está relacionado com $[;\theta;]$ através da expressão $[;r = f(\theta);]$ , então se a função $[;f(\theta);]$ é razoavelmente simples, podemos esboçar o seu gráfico escolhendo uma sequência adequada de valores de $[;\theta;]$ e calculando os valores correspondentes de $[;r;]$ . O gráfico polar abaixo nos auxilia nesta tarefa.

Exemplo 2: A curva cuja equação polar é $[;r = 2(1 + \cos \theta);]$ é conhecida por cardióide (coração em latim). Sua representação no gráfico polar é dada na figura abaixo.

Outros gráficos podem ser gerados desta forma, tais como circunferências, limaçons, lemniscatas, espirais, rosáceas, etc. os quais serão abordadas em posts futuros.

Gostará de ler também:
- A Translação de Eixos no Plano;
- A Rotação de Eixos no Plano;
- Área em Coordenadas Polares (Blog O Baricentro da Mente);
- A Cissóide de Diócles.