FATOS MATEMÁTICOS: 2012/03

sábado, 31 de março de 2012

Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 2)

Nesta segunda parte, veremos um problema relacionado as caixas em forma de prisma quadrangular regular, cujo enunciado é:

"Suponha que o meu caro colega do DAC, além da confecção de caixas em forma de paralelepípedo retângulo resolva confeccionar caixas em forma de prisma quadrangular regular, obedecendo as seguintes condições de mercado: os lados, a altura e a diagonal de cada caixa sejam números inteiros, como seria o processo de confecção de caixas?"

Resolução: Considere a figura acima. Como os triângulos $[;ABC;]$ e $[;BCD;]$ são retângulos e, além disso, $[;AB = AC;]$ , então, fazendo coincidir as diagonais nos dois triângulos, obtém-se:

A diagonal da base ( $[;d;]$ ) é tal que $[;d^2 = a^2 + a^2;]$ . Para a diagonal ( $[;\delta;]$ ) da caixa, temos:

$[;\delta^2 = c^2 + d^2;]$

Portanto, os lados, a altura, a diagonal da base e a diagonal da caixa são dadas pelos dois ternos $[;(a,a,d);]$ e $[;(d,c,\delta);]$ . Logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra $[;(a,a,c,\delta);]$ .

Como $[;d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2;]$ e $[;\delta^2 = c^2 + d^2;]$ , segue que $[;\delta^2 = c^2 + 2a^2;]$ ou

$[;\delta + c = \frac{2a^2}{\delta - c};]$

Já que $[;\delta;]$ e $[;c;]$ são números inteiros, então $[;\delta - c;]$ é divisor de $[;2a^2;]$ . Portanto, $[;\delta - c \prec 2a;]$ . Os divisores de $[;2a^2 \prec 2a;]$ são: $[;1;]$ , $[;2;]$ e $[;a;]$ . Substituino $[;1;]$ , $[;2;]$ e $[;a;]$ em $[;\delta + c = \frac{2a^2}{\delta - c};]$ obtém-se os seguintes sistemas de equações:

$[;S_1: \quad \begin{cases}\delta - c = 1\\\delta + c = 2a^2\end{cases};]$

$[;S_2: \quad \begin{cases}\delta - c = 2\\\delta + c = a^2\end{cases};]$

$[;S_3: \quad \begin{cases}\delta - c = a\\\delta + c = 2a\end{cases};]$

Resolvendo os três sistemas, obtém-se as seguintes soluções:

$[;2\delta = 2a^2 + 1 \qquad (1);]$

$[;2\delta = a^2 + 2 \qquad (2);]$

$[;2\delta = 3a \qquad (3);]$

Como $[;2\delta;]$ é par, logo, somente as soluções $[;(2);]$ e $[;(3);]$ são compatíveis. Além disso, para $[;a = 2n;]$ , temos de $[;(2);]$ e $[;(3);]$ que

$[;\delta = 2n^2 + 1 \quad \text{e} \quad \delta = 3n;]$

A solução $[;(2);]$ foi obtido para $[;c = \delta - 2;]$ e a solução $[;(3);]$ para $[;c = \delta - a;]$ . Como $[;\delta = 3n;]$ e $[;a = 2n;]$ segue que $[;c = 3n - 2n = n;]$ .

Resposta: A fim de que as dimensões das caixas e sua diagonal sejam números inteiros há dois processos de fabricação das caixas.

$[;1^{\underline{\circ}};]$ processo: $[;a = 2n;]$ , $[;\delta = 2n^2 + 1;]$ e $[;c = \delta - 2;]$ .

$[;2^{\underline{\circ}};]$ processo: $[;a = 2n;]$ , e $[;c = n;]$

Exemplo de aplicação. Suponha que um certo dia o caro colega do DAC receba uma encomenda de duas caixas, em forma de prisma quadrangular regular, com as seguintes condições: as medidas dos lados de cada caixa devem ser iguais a $[;4\ cm;]$ , as medidas da altura e da diagonal de cada caixa devem ser números inteiros.

Resolução: Como $[;a = 2n;]$ e $[;a = 4;]$ , temos $[;n = 2;]$ .

Primeira caixa: $[;a = 4\ cm;]$ , $[;\delta = 2\times 2^2 + 1 = 9\ cm;]$ e $[;c = 9 - 2 = 7\ cm;]$

Segunda caixa: $[;a = 4\ cm;]$ , $[;\delta = 3\times 2 = 6\ cm;]$ e $[;c = 2\ cm;]$ .

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Gostará de ler também:
- Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 1);
- Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados.

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Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 2)