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Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 2)

Nesta segunda parte, veremos um problema relacionado as caixas em forma de prisma quadrangular regular, cujo enunciado é:

"Suponha que o meu caro colega do DAC, além da confecção de caixas em forma de paralelepípedo retângulo resolva confeccionar caixas em forma de prisma quadrangular regular, obedecendo as seguintes condições de mercado: os lados, a altura e a diagonal de cada caixa sejam números inteiros, como seria o processo de confecção de caixas?"

Resolução: Considere a figura acima. Como os triângulos [;ABC;] e [;BCD;] são retângulos e, além disso, [;AB = AC;], então, fazendo coincidir as diagonais nos dois triângulos, obtém-se:


A diagonal da base ([;d;]) é tal que [;d^2 = a^2 + a^2;]. Para a diagonal ([;\delta;]) da caixa, temos:

[;\delta^2 = c^2 + d^2;]

Portanto, os lados, a altura, a diagonal da base e a diagonal da caixa são dadas pelos dois ternos [;(a,a,d);] e [;(d,c,\delta);]. Logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra [;(a,a,c,\delta);].

Como [;d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2;] e [;\delta^2 = c^2 + d^2;], segue que [;\delta^2 = c^2 + 2a^2;]
ou

[;\delta + c = \frac{2a^2}{\delta - c};]

Já que [;\delta;] e [;c;] são números inteiros, então [;\delta - c;] é divisor de [;2a^2;]. Portanto, [;\delta - c \prec 2a;]. Os divisores de [;2a^2 \prec 2a;] são: [;1;], [;2;] e [;a;]. Substituino [;1;], [;2;] e [;a;] em [;\delta + c = \frac{2a^2}{\delta - c};] obtém-se os seguintes sistemas de equações:

[;S_1: \quad \begin{cases}\delta - c = 1\\\delta + c = 2a^2\end{cases};]

[;S_2: \quad \begin{cases}\delta - c = 2\\\delta + c = a^2\end{cases};]

[;S_3: \quad \begin{cases}\delta - c = a\\\delta + c = 2a\end{cases};]

Resolvendo os três sistemas, obtém-se as seguintes soluções:

[;2\delta = 2a^2 + 1 \qquad (1);]

[;2\delta = a^2 + 2 \qquad (2);]

[;2\delta = 3a \qquad (3);]

Como [;2\delta;] é par, logo, somente as soluções [;(2);] e [;(3);] são compatíveis. Além disso, para [;a = 2n;], temos de [;(2);] e [;(3);] que

[;\delta = 2n^2 + 1 \quad \text{e} \quad \delta = 3n;]

A solução [;(2);] foi obtido para [;c = \delta - 2;] e a solução [;(3);] para [;c = \delta - a;]. Como [;\delta = 3n;] e [;a = 2n;] segue que [;c = 3n - 2n = n;].

Resposta: A fim de que as dimensões das caixas e sua diagonal sejam números inteiros há dois processos de fabricação das caixas.

[;1^{\underline{\circ}};] processo: [;a = 2n;], [;\delta = 2n^2 + 1;] e [;c = \delta - 2;].

[;2^{\underline{\circ}};] processo: [;a = 2n;], e [;c = n;]

Exemplo de aplicação. Suponha que um certo dia o caro colega do DAC receba uma encomenda de duas caixas, em forma de prisma quadrangular regular, com as seguintes condições: as medidas dos lados de cada caixa devem ser iguais a [;4\ cm;], as medidas da altura e da diagonal de cada caixa devem ser números inteiros.

Resolução: Como [;a = 2n;] e [;a = 4;], temos [;n = 2;].

Primeira caixa: [;a = 4\ cm;], [;\delta = 2\times 2^2 + 1 = 9\ cm;] e [;c = 9 - 2 = 7\ cm;]

Segunda caixa: [;a = 4\ cm;], [;\delta = 3\times 2 = 6\ cm;] e [;c = 2\ cm;].


Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Gostará de ler também:
- Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 1);
- Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados.