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Potências com Expoentes Naturais e Inteiros


Uma das operações matemáticas mais usadas é a potenciação e o conhecimento de suas propriedades é fundamental no desenvolvimento das funções exponenciais e logarítmicas. Neste post, veremos esta operação com a preocupação em expor o assunto de forma concisa. Para isso, é necessário que o leitor conheça a técnica de demonstração por indução finita.

Definição 1: Para [;0 \prec a \neq 1;], definimos:

[;\begin{cases}a^0 = 1\\a^1 = a\\a^{n+1} = a^n\cdot a, \qquad n \geq 1\end{cases};]

Desta definição, segue a seguinte proposição:

Proposição 1: Se [;a;], [;b \in \mathbb{R}_{+}-\{1\};] e [;m,n \in \mathbb{N}^{\ast};], então:
[;i);] [;a^m\cdot a^n = a^{m + n};]
[;ii);] [;(a^m)^n = a^{m\cdot n};]
[;iii);] [;(ab)^n = a^n\cdot b^n;]
[;iv);] [;\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n = \frac{a^n}{b^n}, \qquad b \neq 0;]

Demonstração:

[;i);] Fixamos [;m;] arbitrariamente e provemos a relação por indução finita sobre [;n;]. Para [;n = 1;], temos:
[;a^m\cdot a^1 = a^m\cdot a = a^{m+1};]

Suponhamos que [;a^m\cdot a^n = a^{m+n};] e provemos que [;a^{m}\cdot a^{n+1} = a^{m+n+1};].

De fato,

[;a^{m}\cdot a^{n+1} = a^m\cdot (a^n\cdot a) = (a^m\cdot a^n)\cdot a = a^{m+n}\cdot a = a^{m+n+1};]

[;ii);] [;(a^m)^n = a^{m\cdot n} \qquad (1);]

Fixemos [;m;] arbitrariamente e provemos a relação por indução finita sobre [;n;]. Para [;n = 1;], temos:

[;(a^m)^1 = a^m = a^{m\cdot 1};] 

Suponhamos que [;(1);] seja válida e provemos sua validade para [;n + 1;].
[;(a^m)^{n + 1} = (a^m)^n\cdot a^m = a^{m\cdot n}\cdot a^m = a^{m\cdot n + m} = a^{m(n + 1)};]

[;iii);] Usaremos indução sobre [;n;]. Para [;n = 1;], temos [;(ab)^1 = ab = a^1\cdot b^1;]. Suponhamos que a expressão dada seja válida e provaremos sua validade para [;n+1;]. De fato,

[;(ab)^{n+1} = (ab)^n\cdot (ab) = a^nb^n\cdot a\cdot b = (a^na)\cdot (b^nb) = a^{n+1}\cdot b^{n+1};]

[;iv);] Para [;n = 1;], temos

[;\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^1 = \frac{a}{b} = \frac{a^1}{b^1};]


Suponhamos que a expressão dada seja válida e provaremos sua validade para [;n+1;]. De fato,
[;\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{n+1} = \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n\cdot \frac{a}{b} = \frac{a^n}{b^n}\cdot \frac{a}{b} = \frac{a^na}{b^nb} = \frac{a^{n+1}}{b^{n+1}};]

Exemplo 1: Calcule as expressões abaixo:

[;a);] [;\frac{64^2}{4^2} =;]

[;b);] [;3^35^3 =;]

[;c);] [;\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{3}{4}\biggr)^3 =;]

[;d);] [;(m^5n^3p^2)^4 =;]

Resolução:

[;a);] [;\frac{64^2}{4^2} = \frac{(2^6)^2}{(2^2)^2} = \frac{2^{12}}{2^4} = 2^{12 - 4} = 2^8;]

[;b);] [;3^35^3 = (3\cdot 5)^3 = 15^3 = 3375;]

[;c);] [;\biggl(\frac{4}{3}\biggr)^2\cdot \biggl(\frac{3}{4}\biggr)^3 = \frac{4^2}{3^2}\cdot \frac{3^3}{4^3} = \frac{3}{4};]

[;d);] [;(m^5n^3p^2)^4 = (m^5)^4\cdot (n^3)^4\cdot (p^2)^4 = m^{20}n^{12}p^8;]

Vimos que [;a^0 = 1;]. O próximo passo é definir [;a^{-n};] para [;a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast};] e [;n \in \mathbb{N};]. Nesta definição queremos que a propriedade [;i);] seja preservada, ou seja:

[;a^na^{-n} = a^{n - n} = a^0 = 1;]
Portanto, definimos:
[;a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a \in \mathbb{R}_{+}^{\ast};]

Observação 1: Se [;n \prec 0;], então

[;a^n = a^{-(-n)} = \frac{1}{a^{-n}};]

pois, [;-n \succ 0;].

Proposição 2: Se [;a \prec 0;] e [;n \in \mathbb{Z};], então

[;i);] [;a^n \succ 0;] se [;n;] é par;
[;ii);] [;a^n \prec 0;] se [;n;] é ímpar.

Demonstração:
[;i);] Se [;n;] é par, então [;n = 2k;] para algum [;k \in \mathbb{Z};]. Assim,
[;a^n = a^{2k} = (a^k)^2 \succ 0;] para [;k \succ 0;] e
[;a^n = a^{2k} = (a^k)^2 = \bigl(\frac{1}{a^k}\bigr)^2 \succ 0;]
para [;k \prec 0;].

O item [;ii);] é análogo e é deixado como exercício.

Podemos generalizar a Proposição 1 para [;m;] e [;n;] inteiros. Este resultado é apresentado na Proposição 2 abaixo.

Proposição 2: Sejam [;a, b \in \mathbb{R}_{+}^{\ast};]. Para quaisquer [;m;], [;n \in \mathbb{Z};], tem-se:
[;i);] [;a^ma^n = a^{m+n};]
[;ii);] [;\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n};]
[;iii);] [;(a^m)^n = a^{m\cdot n};]
[;iv);] [;(ab)^n = a^nb^n;]
[;v);] [;\bigl(\frac{a}{b}\bigr)^n = \frac{a^n}{b^n};]

Demonstração: Temos [;4;] casos para serem analisados.

Caso 1: [;m \succ 0;] e [;n \succ 0;]

Neste caso, os ítens [;i);], [;iii);], [;iv);] e [;v);] já foram provados anterioremente. Para o item [;ii);], temos dois casos:

Para [;m \geq n \succ 0;], segue que

[;\frac{a^m}{a^n} = \frac{a^{(m - n) + n}}{a^n} = \frac{a^{m - n}a^n}{a^n} = a^{m - n};]

Para [;0 \prec m \prec n;], temos

[;\frac{a^m}{a^n} = \frac{a^{m-n + n}}{a^n} = \frac{a^{-(n - m)}a^n}{a^n} = a^{-(n - m)} = a^{m - n};]

Para [;0 \prec m \prec n;], segue que 

[;\frac{a^m}{a^n} = \frac{a^{m-n + n}}{a^n} = \frac{a^{-(n - m)}a^n}{a^n} = a^{m - n};]

Caso 2: [;m \prec 0;] e [;n \prec 0;] 

Neste caso, temos [;-m \succ 0;] e [;-n \succ 0;]. Assim, 

[;i);][;a^m\cdot a^n = a^{-(-m)}\cdot a^{-(-n)} = \frac{1}{a^{-m}}\cdot \frac{1}{a^{-n}} = \frac{1}{a^{-m-n}};]
             [;=\frac{1}{a^{-(m + n)}} = a^{m+n};]

[;ii);] [;\frac{a^m}{a^n} = \frac{a^m}{a^{-(-n)}} = a^ma^{-n} = a^{m-n};] 

[;iii);][;(a^m)^n = [a^{-(-m)}]^{-(-n)} = \bigl[\frac{1}{a^{-m}}\bigr]^{-(-n)} = (a^{-m})^{-n};]

               [;=a^{(-m)(-n)} = a^{mn};]

[;iv);] [;(ab)^n = (ab)^{-(-n)} = a^{-(-n)}\cdot b^{-(-n)} = a^nb^n;] 

[;v);] [;\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{n} = \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-(-n)} = \frac{a^{-(-n)}}{b^{-(-n)}} = \frac{a^n}{b^n};]

Caso 3: [;m \prec 0;] e [;n \succ 0;].

Neste caso, note que [;-m \succ 0;].

[;i);] [;a^m\cdot a^n = a^{-(-m)}a^n = \frac{a^n}{a^{-m}} = a^{n - (-m)} = a^{m+n};] 

[;ii);] [;\frac{a^m}{a^n} = \frac{a^{-(-m)}}{a^n} = \frac{1}{a^n\cdot a^{-m}} = \frac{1}{a^{n - m}} = \frac{1}{a^{-(m - n)}} = a^{m - n};]

[;iii);] [;(a^m)^n = [a^{-(-m)}]^n = \biggl(\frac{1}{a^{-m}}\biggr)^n = \frac{1}{(a^{-m})^n} = \frac{1}{a^{-mn}};]

[;iv);] O caso [;n \succ 0;] já foi visto. Se [;n \prec 0;], temos

 [;(ab)^n = (ab)^{-(-n)} = \frac{1}{(ab)^{-n}} = \frac{1}{a^{-n}}b^{-n} = a^nb^n;]
[;v);] O caso [;n \succ 0;] já foi visto. Se [;n \prec 0;], segue que 

[;\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^n = \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-(-n)} = \frac{1}{\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-n}} = \frac{b^{-n}}{a^{-n}} = \frac{a^{-(-n)}}{b^{-(-n)}} = \frac{a^n}{b^n};]
 Observação: Se [;m;] ou [;n = 0;] para os ítens [;i);], [;ii);] e [;iii);], temos:

[;i);] [;a^m\cdot a^0 = a^m\cdot 1 = a^{m+0};] 
[;ii);] [;\frac{a^m}{a^0} = \frac{a^m}{1} = a^{m - 0};] 
[;iii);] [;(a^m)^0 = 1 = a^0 = a^{m\cdot 0};]

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