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quarta-feira

A Área do Segmento e da Calota Esférica

O segmento esférico é a região interna de uma esfera delimitada por dois planos paralelos. A distância entre esses planos é a altura e os círculos resultantes da interseção dos planos com a esfera são as bases. 
Se a altura é [;h;] e [;R_1;] e [;R_2;] são os raios da base de um segmento esférico, então seu volume é dado por:
[;V = \frac{\pi h}{6}[3(R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + h^2];]

Para ver a prova deste fato, leiam o excelente post "O Volume de um Segmento Esférico" do blog O Baricentro da Mente. Neste post, usaremos coordenadas polares e técnicas simples de integração para calcular a área do segmento esférico e da calota esférica, obtida anulando o raio de uma das bases do segmento esférico.

Dada uma função [;f;] contínua no intervalo [;[a,b];] e derivável no aberto [;(a,b);], a área do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de [;f;] e pelas retas [;x = a;] e [;x = b;] em torno do eixo [;x\;] é dada por:

[;S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}dx \qquad (1);]
A demonstração baseia-se nas figuras acima em que o arco de curva é dividido em vários segmentos. Em seguida, soma-se a área de cada tronco de cone formado por essas subdivisões. Aumentando o número de subdivisões e usando o teorema do valor médio e a definição de integral definida, obtemos a expressão acima. 

O termo [;\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2};] é o elemento infinitesimal de comprimento de arco e será denotado por [;dl;]

Proposição 1: O elemento infinitesimal de comprimento de arco de uma circunferência de raio de [;a;] em coordenadas polares é 

[;dl = ad\theta \qquad (2);]

Demonstração: De fato, da figura acima, temos:
[;x = a\cos \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{d\theta} = -a\sin \theta;]
e
[;y = a\sin \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{d\theta} = a\cos \theta;]
de modo que
[;dl = \sqrt{1 + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2}dx = \sqrt{dx^2 + dy^2};] 
[;=\sqrt{\biggl(\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{d\theta} \biggr)}d\theta = \sqrt{(-a\sin \theta)^2 + (a\cos \theta)^2}d\theta;]

donde segue que [;dl = ad\theta;]

Proposição 2:  (Arquimedes) A área lateral de um segmento esférico de altura [;h;] obtido de uma esfera de raio [;a;] é igual a área de uma faixa lateral de largura [;h;] de um cilindro de raio [;a;].

Demonstração: Substituindo [;(2);] em [;(1);] e usando o fato que [;y = a\sin \theta;], temos:
[;S = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2}a\sin \theta ad\theta = 2\pi a^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin \theta d\theta;]
[;=2\pi a^2 (-\cos \theta)|_{\theta_1}^{\theta_2} = 2\pi a (a\cos \theta_1 - a \cos \theta_2) \qquad (3);]

Da figura abaixo, notamos que 
[;h = x_1 - x_2 = a\cos \theta_1 - a\cos \theta_2 \qquad (4);] 
Substituindo [;(4);] em [;(3);], obtemos [;S = 2\pi ah;].

No caso de uma calota esférica obtida de um segmento esférico fazendo[;R_1 = 0;], temos:

[;S = 2\pi a^2\int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta = 2\pi a^2 \int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta;]
[;=2\pi a^2(-\cos \theta)|_{0}^{\theta_2} = -2\pi a(a - a\cos \theta_2);]
[;= 2\pi a (a - x_2) = 2\pi a h;]
de modo que o teorema de Arquimedes continua válido.

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segunda-feira

Alguns Problemas do Dia-a-Dia Via Equações Quadráticas

O verdadeiro matemático não precisa ter um título para dizer aos outros que é matemático, mas uma de suas características marcantes é a busca de padrões matemáticos. Como seria bom ter uma fórmula universal para resolver todos os problemas matemáticos! Vivenciando e experimentando a matemática no dia-a-dia notamos que ela é mais complexa do que imaginamos, mas o matemático de verdade nunca desistirá de procurar o Santo Graal desta ciência.

Mesmo antes da invenção dos símbolos algébricos, o homem deparou-se com problemas práticos cuja solução dependia da resolução de uma equação quadrática. No post, A História das Equações Algébricas (Parte 2) vemos que a primeira equação quadrática aparece no Berlin Papyrus do Egito Antigo por volta de 2000 a.C. Em notação moderna, o problema pede para achar [;x\;] e [;y;] tais que 
[;\begin{cases}x^2 + y^2 = 100\\y = \frac{3x}{4}\end{cases};]

A solução apresentada no papiro usa a técnica de falsa posição. Uma interpretação geométrica deste exercício é a seguinte: 

"Determine as dimensões de um terreno retangular cuja diagonal mede [;10;] sabendo que a medida de um dos lados é [;75;]% a medida do outro"

Neste post, deixarei de lado os problemas práticos de otimização cuja solução está relacionado com o vértice de uma função quadrática para tratar de problemas mais elementares que envolvem uma equação do segundo grau. Para o leitor curioso recomendo que leia este post Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada, além das leituras sugeridas no final do texto.

Problema 1: Duas torneiras enchem juntas um tanque em [;12\ h;]. Uma delas sozinha levaria [;10\ h;] a mais do que a outra para enchê-lo. Quantas horas cada uma das torneiras leva para encher o tanque? 

Resolução: Suponhamos que a capacidade do tanque seja [;V;]. Se [;t_1;] ([;t_1 \succ 0;]) representa o tempo que uma torneira leva para encher o tanque, então [;t_2 = t_1 + 10;] é o tempo gasto pela outra torneira. A taxa com que o tanque é enchido é a vazão [;Q;] que é a razão entre o volume [;V;] e o tempo [;t;], de modo que [;t = V/Q;]. Assim,
[;t_1 = \frac{V}{Q_1}, \quad t_2 = \frac{V}{Q_2} \quad \Rightarrow \quad t_1 + 10 = \frac{V}{Q_2};]
Pelo enunciado, temos:
[;12 = \frac{V}{Q_1 + Q_2} \quad \Rightarrow \quad 12 = \frac{V}{\frac{V}{t_1} + \frac{V}{t_1 + 10}} \quad \Rightarrow;] 

[;\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 10} = \frac{1}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{2t_1 + 10}{t_1(t_1 + 10)} = \frac{1}{12} \quad \Rightarrow;]

[;t_{1}^{2} + 10t_1 = 12(2t_1 + 10) \quad \Rightarrow \quad t_{1}^{2} - 14t_1 - 120 = 0;]

ou seja, para determinar o tempo em que cada torneira leva para encher o tanque, temos que resolver uma equação quadrática. O discriminante desta equação é [;\Delta = 676 = 26^2;] de modo que pela fórmula de Bháskara, obtemos [;t_1 = 20\ h;] e consequentemente, [;t_2 = 30\ h;]. 
Problema 2: Quantos lados possuem um polígono convexo se ele possui [;14;] diagonais?
Resolução: Na figura acima temos um polígono e alguns vértices representados. A diagonal de um polígono convexo é um segmento ligando dois vértices não-consecutivos. Assim, [;AC;], [;CA;], [;AD;] e [;DA;] são algumas diagonais deste polígono. Sendo [;AC = CA;], notamos que a contagem do número de diagonais [;d;] de um polígono é o número de segmentos formados pelos seus vértices cuja ordem de formação não é relevantem, portanto, trata-se de uma combinação [;C_{n,2};], onde [;n;] é o número de vértices ou lados. Mas é importante ressaltar que nesta contagem devemos retirar os lados do polígono, ou seja, a expressão para calcular o número de diagonais de um polígono convexo é dada por:
[;d = C_{n,2} - n = \frac{n(n-1)}{2} - n;] 
Sendo [;d= 14;], o número de lados deste polígono satisfaz a equação quadrática

[;n^2 - n - 2n = 28 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 3n - 28 = 0;]
O discriminante é [;\Delta = 121 = 11^2;] de modo que [;n = \frac{3 + 11}{2} = 7;] lados.

Problema 3: Um grupo de amigos, numa excursão alugam uma Van por [;420;] reais. Terminando o passeio, dois deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles [;5;] reais a mais. Quantos eram os amigos?

Resolução: Seja [;n;] o número de amigos que alugaram a Van. Se todos tivessem pago, então cada um pagaria [;420/n;] reais. Como dois deles estavam sem dinheiro, o restante teve que pagar um valor maior dado por [;420/(n - 2);]. Pelo enunciado a diferença entre esses valores é [;5;] reais, de modo que 

[;\frac{420}{n - 2} - \frac{420}{n} = 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{420n - 420(n - 2)}{(n-2)n} = 5 \quad \Rightarrow;] 
[;5(n^2 - 2n) = 840 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 2n + 1 = 168 + 1 \quad \Rightarrow;]
[;(n - 1)^2 = 169 = 13^2 \quad \Rightarrow \quad n = 1 + 13 = 14;]

ou seja, [;14;] amigos alugaram a Van para a excursão.

Exercícios Propostos:
[;1);] Determine o número de pessoas presentes em uma reunião, sabendo todas cumprimentaram-se entre si havendo portanto, [;153;] apertos de mãos. [;R: \ n = 18;] pessoas.
[;2);] Ache os pontos de interseção das curvas abaixo:
[;a);] Circunferência [;x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0;] e a reta [;y - x = 4;]. [;R:\ \{(-3,1);(0,4)\};];
[;b);] Parábola [;y = 4x^2;] e a reta [;16x + 16y + 1 = 0;]. [;R:\ \{(-1/8,1/16)\};].
[;3);] Um fazendeiro tem [;100\ m;] de cerca para construir um galinheiro retangular. Determine suas dimensões sabendo que sua área é [;600\ m^2;]. [;R:\ x = 30\ m;] e [;y = 20\ m;]. 

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