FATOS MATEMÁTICOS: 2012/05

quarta-feira, 30 de maio de 2012

A Área do Segmento e da Calota Esférica

O segmento esférico é a região interna de uma esfera delimitada por dois planos paralelos. A distância entre esses planos é a altura e os círculos resultantes da interseção dos planos com a esfera são as bases.

Se a altura é $[;h;]$ e $[;R_1;]$ e $[;R_2;]$ são os raios da base de um segmento esférico, então seu volume é dado por:

$[;V = \frac{\pi h}{6}[3(R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + h^2];]$

Para ver a prova deste fato, leiam o excelente post "O Volume de um Segmento Esférico" do blog O Baricentro da Mente. Neste post, usaremos coordenadas polares e técnicas simples de integração para calcular a área do segmento esférico e da calota esférica, obtida anulando o raio de uma das bases do segmento esférico.

Dada uma função $[;f;]$ contínua no intervalo $[;[a,b];]$ e derivável no aberto $[;(a,b);]$ , a área do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de $[;f;]$ e pelas retas $[;x = a;]$ e $[;x = b;]$ em torno do eixo $[;x\;]$ é dada por:

$[;S = 2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}dx \qquad (1);]$

A demonstração baseia-se nas figuras acima em que o arco de curva é dividido em vários segmentos. Em seguida, soma-se a área de cada tronco de cone formado por essas subdivisões. Aumentando o número de subdivisões e usando o teorema do valor médio e a definição de integral definida, obtemos a expressão acima.

O termo $[;\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2};]$ é o elemento infinitesimal de comprimento de arco e será denotado por $[;dl;]$ .

Proposição 1: O elemento infinitesimal de comprimento de arco de uma circunferência de raio de $[;a;]$ em coordenadas polares é

$[;dl = ad\theta \qquad (2);]$

Demonstração: De fato, da figura acima, temos:

$[;x = a\cos \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{d\theta} = -a\sin \theta;]$

$[;y = a\sin \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{d\theta} = a\cos \theta;]$

de modo que

$[;dl = \sqrt{1 + \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^2}dx = \sqrt{dx^2 + dy^2};]$

$[;=\sqrt{\biggl(\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{d\theta} \biggr)}d\theta = \sqrt{(-a\sin \theta)^2 + (a\cos \theta)^2}d\theta;]$

donde segue que $[;dl = ad\theta;]$ .

Proposição 2: (Arquimedes) A área lateral de um segmento esférico de altura $[;h;]$ obtido de uma esfera de raio $[;a;]$ é igual a área de uma faixa lateral de largura $[;h;]$ de um cilindro de raio $[;a;]$ .

Demonstração: Substituindo $[;(2);]$ em $[;(1);]$ e usando o fato que $[;y = a\sin \theta;]$ , temos:

$[;S = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2}a\sin \theta ad\theta = 2\pi a^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin \theta d\theta;]$

$[;=2\pi a^2 (-\cos \theta)|_{\theta_1}^{\theta_2} = 2\pi a (a\cos \theta_1 - a \cos \theta_2) \qquad (3);]$

Da figura abaixo, notamos que

$[;h = x_1 - x_2 = a\cos \theta_1 - a\cos \theta_2 \qquad (4);]$

Substituindo $[;(4);]$ em $[;(3);]$ , obtemos $[;S = 2\pi ah;]$ .

No caso de uma calota esférica obtida de um segmento esférico fazendo $[;R_1 = 0;]$ , temos:

$[;S = 2\pi a^2\int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta = 2\pi a^2 \int_{0}^{\theta_2}\sin \theta d\theta;]$

$[;=2\pi a^2(-\cos \theta)|_{0}^{\theta_2} = -2\pi a(a - a\cos \theta_2);]$

$[;= 2\pi a (a - x_2) = 2\pi a h;]$

de modo que o teorema de Arquimedes continua válido.

Gostará de ler também:

- A Área Lateral do Cone e do Tronco de Cone;

- A Área do Segmento Esférico (Arquimedes);

- A Área do Segmento Parabólico Através do Método da Alavanca;

- Uma Fórmula Para Calcular a Área do Elipsóide de Revolução;

- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone.

segunda-feira, 28 de maio de 2012

Alguns Problemas do Dia-a-Dia Via Equações Quadráticas

O verdadeiro matemático não precisa ter um título para dizer aos outros que é matemático, mas uma de suas características marcantes é a busca de padrões matemáticos. Como seria bom ter uma fórmula universal para resolver todos os problemas matemáticos! Vivenciando e experimentando a matemática no dia-a-dia notamos que ela é mais complexa do que imaginamos, mas o matemático de verdade nunca desistirá de procurar o Santo Graal desta ciência.

Mesmo antes da invenção dos símbolos algébricos, o homem deparou-se com problemas práticos cuja solução dependia da resolução de uma equação quadrática. No post, A História das Equações Algébricas (Parte 2) vemos que a primeira equação quadrática aparece no Berlin Papyrus do Egito Antigo por volta de 2000 a.C. Em notação moderna, o problema pede para achar $[;x\;]$ e $[;y;]$ tais que

$[;\begin{cases}x^2 + y^2 = 100\\y = \frac{3x}{4}\end{cases};]$

A solução apresentada no papiro usa a técnica de falsa posição. Uma interpretação geométrica deste exercício é a seguinte:

"Determine as dimensões de um terreno retangular cuja diagonal mede $[;10;]$ sabendo que a medida de um dos lados é $[;75;]$ % a medida do outro"

Neste post, deixarei de lado os problemas práticos de otimização cuja solução está relacionado com o vértice de uma função quadrática para tratar de problemas mais elementares que envolvem uma equação do segundo grau. Para o leitor curioso recomendo que leia este post Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada, além das leituras sugeridas no final do texto.

Problema 1: Duas torneiras enchem juntas um tanque em $[;12\ h;]$ . Uma delas sozinha levaria $[;10\ h;]$ a mais do que a outra para enchê-lo. Quantas horas cada uma das torneiras leva para encher o tanque?

Resolução: Suponhamos que a capacidade do tanque seja $[;V;]$ . Se $[;t_1;]$ ( $[;t_1 \succ 0;]$ ) representa o tempo que uma torneira leva para encher o tanque, então $[;t_2 = t_1 + 10;]$ é o tempo gasto pela outra torneira. A taxa com que o tanque é enchido é a vazão $[;Q;]$ que é a razão entre o volume $[;V;]$ e o tempo $[;t;]$ , de modo que $[;t = V/Q;]$ . Assim,

$[;t_1 = \frac{V}{Q_1}, \quad t_2 = \frac{V}{Q_2} \quad \Rightarrow \quad t_1 + 10 = \frac{V}{Q_2};]$

Pelo enunciado, temos:

$[;12 = \frac{V}{Q_1 + Q_2} \quad \Rightarrow \quad 12 = \frac{V}{\frac{V}{t_1} + \frac{V}{t_1 + 10}} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 10} = \frac{1}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{2t_1 + 10}{t_1(t_1 + 10)} = \frac{1}{12} \quad \Rightarrow;]$

$[;t_{1}^{2} + 10t_1 = 12(2t_1 + 10) \quad \Rightarrow \quad t_{1}^{2} - 14t_1 - 120 = 0;]$

ou seja, para determinar o tempo em que cada torneira leva para encher o tanque, temos que resolver uma equação quadrática. O discriminante desta equação é $[;\Delta = 676 = 26^2;]$ de modo que pela fórmula de Bháskara, obtemos $[;t_1 = 20\ h;]$ e consequentemente, $[;t_2 = 30\ h;]$ .

Problema 2: Quantos lados possuem um polígono convexo se ele possui $[;14;]$ diagonais?

Resolução: Na figura acima temos um polígono e alguns vértices representados. A diagonal de um polígono convexo é um segmento ligando dois vértices não-consecutivos. Assim, $[;AC;]$ , $[;CA;]$ , $[;AD;]$ e $[;DA;]$ são algumas diagonais deste polígono. Sendo $[;AC = CA;]$ , notamos que a contagem do número de diagonais $[;d;]$ de um polígono é o número de segmentos formados pelos seus vértices cuja ordem de formação não é relevantem, portanto, trata-se de uma combinação $[;C_{n,2};]$ , onde $[;n;]$ é o número de vértices ou lados. Mas é importante ressaltar que nesta contagem devemos retirar os lados do polígono, ou seja, a expressão para calcular o número de diagonais de um polígono convexo é dada por:

$[;d = C_{n,2} - n = \frac{n(n-1)}{2} - n;]$

Sendo $[;d= 14;]$ , o número de lados deste polígono satisfaz a equação quadrática

$[;n^2 - n - 2n = 28 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 3n - 28 = 0;]$

O discriminante é $[;\Delta = 121 = 11^2;]$ de modo que $[;n = \frac{3 + 11}{2} = 7;]$ lados.

Problema 3: Um grupo de amigos, numa excursão alugam uma Van por $[;420;]$ reais. Terminando o passeio, dois deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles $[;5;]$ reais a mais. Quantos eram os amigos?

Resolução: Seja $[;n;]$ o número de amigos que alugaram a Van. Se todos tivessem pago, então cada um pagaria $[;420/n;]$ reais. Como dois deles estavam sem dinheiro, o restante teve que pagar um valor maior dado por $[;420/(n - 2);]$ . Pelo enunciado a diferença entre esses valores é $[;5;]$ reais, de modo que

$[;\frac{420}{n - 2} - \frac{420}{n} = 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{420n - 420(n - 2)}{(n-2)n} = 5 \quad \Rightarrow;]$

$[;5(n^2 - 2n) = 840 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 2n + 1 = 168 + 1 \quad \Rightarrow;]$

$[;(n - 1)^2 = 169 = 13^2 \quad \Rightarrow \quad n = 1 + 13 = 14;]$

ou seja, $[;14;]$ amigos alugaram a Van para a excursão.

Exercícios Propostos:

$[;1);]$ Determine o número de pessoas presentes em uma reunião, sabendo todas cumprimentaram-se entre si havendo portanto, $[;153;]$ apertos de mãos. $[;R: \ n = 18;]$ pessoas.

$[;2);]$ Ache os pontos de interseção das curvas abaixo:

$[;a);]$ Circunferência $[;x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0;]$ e a reta $[;y - x = 4;]$ . $[;R:\ \{(-3,1);(0,4)\};]$ ;

$[;b);]$ Parábola $[;y = 4x^2;]$ e a reta $[;16x + 16y + 1 = 0;]$ . $[;R:\ \{(-1/8,1/16)\};]$ .

$[;3);]$ Um fazendeiro tem $[;100\ m;]$ de cerca para construir um galinheiro retangular. Determine suas dimensões sabendo que sua área é $[;600\ m^2;]$ . $[;R:\ x = 30\ m;]$ e $[;y = 20\ m;]$ .