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O Método da Raiz Para Obter os Logaritmos Decimais

O nobre escocês John Napier (1550-1617), Barão de Murchiston, era um matemático profissional, que no ano de 1614 publicou uma invenção que sacudiu a matemática da época: os logaritmos.

Como sabemos hoje, o poder dos logaritmos como instrumentos de cálculo repousa no fato que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e subtração, mas que perdeu espaço para as modernas calculadoras e computadores eletrônicos.

O termo logarítmo foi criado por Napier: de logos e arithmos, que significam, respectivamente, "razão" e "número". E a obra em que apresentou essa sua descoberta recebeu o título de Mirifice logarithmorum canonis descriptio, ou seja, Uma Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos. Nessa obra, Napier explica a natureza dos logaritmos, segundo sua concepção, e fornece uma tábua de logaritmos dos senos de [;0^{\circ};] a [;90^{\circ};], de minuto a minuto. A razão de aplicar sua idéia à trigonometria com objetivo de facilitar os longos e penosos cálculos que navegadores e astrônomos enfrentavam constantemente.


O trabalho de Napier despertou interesse imediato e amplo, sendo que no ano seguinte à sua publicação, Henry Briggs (1561-1631), professor de geometria do Gresham College de Londres e posteriormente professor de Oxford, viajou até Edimburgo para dar o tributo de seu reconhecimento ao grande inventor dos logaritmos.

Foi durante essa visita que Napier e Briggs concordaram que as tábuas seriam mais úteis se fossem alteradas de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma conveniente potência de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, os logaritmos dos dias de hoje. Esses logaritmos, que são essencialmente os logaritmos de base 10, devem sua superioridade em cálculos numéricos ao fato de que nosso sistema de numeração é decimal.
Assim, para construir uma tábua de logaritmos na base 10, Briggs começou com [;\log \ 10 = 1;] e depois achou outros logaritmos tomando raízes sucessivas. Sendo [;\sqrt{10} = 3,162277;], Briggs tinha que [;\log \ 3,162277 = 0,5000000;] e de [;10^{3/4} = \sqrt{31,162277} = 5,623413;] tinha que [;\log \ 5,623413 = 0,7500000;]. Continuando desse modo, ele calculou outros logaritmos comuns.
Um modo semelhante para obter os logaritmos na base 10 é usar a tabela  acima que foi obtida da seguinte maneira: Extraímos a raiz quadrada de 10, depois a raiz quadrada do resultado assim obtido e assim por diante. Com essa tabela pode-se calcular o logaritmo comum de um número entre 1 e 10, e usando as propriedades operatórias de logaritmos, podemos calcular o logaritmo de qualquer número positivo. Assim, seja [;N;] um número entre 1 e 10. Divide-se [;N;] pelo maior número da tábua que não excede [;N;]. Suponha que o divisor seja [;10^{1/p_1};] e que o quocente seja [;N_1;]. Então
[;N = 10^{1/p_1}N_1;] 
Repetindo-se o mesmo raciocínio com [;N_1;] e continuando o processo obtém-s
[;N = 10^{1/p_1}10^{1/p_2}\dots 10^{1/p_n} N_n;]
Paremos quando [;N_n;] diferir da unidade apenas na sétima casa decimal. Então, até 6 casas, temos 
[;N = 10^{1/p_1}10^{1/p_2}\dots 10^{1/p_n}\quad \text{e} \quad \log \ N = \frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n};]
Este procedimento é conhecido como método da raiz para cálculo de logaritmos. Vejamos um exemplo:  
Exemplo 1: Use o método da raiz e calcule [;\log \ 2;].

Resolução: Neste caso, [;N = 2;]. Dividindo [;2;] pelo maior número da tabela acima que não excede [;2;], temos 

 [;N_1 = \frac{2}{10^{1/4}} = 1,1246827;]
Repetindo o procedimento anterior, segue que
[;N_2 = \frac{N_1}{10^{1/32}}= 1,0466;]
[;N_3 = \frac{N_2}{10^{1/64}}= 1,01255;]
[;N_4 = \frac{N_3}{10^{1/256}}= 1,00348;]
[;N_5 = \frac{N_4}{10^{1/1024}}= 1,00123;]
[;N_6 = \frac{N_5}{10^{1/2048}}= 1,0001;]
Logo,
 [;\log \ 2 \simeq \frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}+\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}= 0,302246;]
A maravilhosa invenção de Napier foi entusiasticamente adotada por toda a Europa. Na astronomia, em particular, já estava passando da hora para essa descoberta; pois, como afirmou Laplace, a invenção do logaritmos "ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astronônomos". Os logaritmos foi introduzido na Itália por Bonaventura Cavalieri, trabalho análogo foi prestado por Johann Kepler na Alemanha e Edmund Wingate na França. O único rival de Napier quanto à prioridade da invenção dos logaritmos foi o suíço Jobst Bürgi (1522-1632), um construtor de instrumentos.
 
Bürgi concebeu e construiu uma tábua de logaritmos independentemente de Napier e publicou seus resultados em 1620, seis anos depois de Napier anunciar sua descoberta ao mundo. Embora os dois tenham concebido a idéia dos logaritmos muito antes de publicá-la, acredita-se geralmente que Napier teve a idéia primeiro. Enquanto a abordagem de Napier era geométrica, a de Bürgi era algébrica. Hoje em dia, um logaritmo é universalmente considerado como um expoente; assim, se [;n = b^x;], dizemos que [;x\;] é o logaritmo de [;n;] na base [;b;]. Dessa definição, as leis dos logaritmos decorrem imediatamente das leis dos expoentes.
Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola de segundo grau ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos a régua de cálculo logarítmica foi um instrumento indispensável para os engenheiros e cientistas.
Na Figura abaixo apresentamos uma breve justificativa do funcionamento de uma régua de cálculo mostrando como calcular os produtos [;2\times 2;], [;2\times 3;], [;2\times 4;] e [;2\times 5;]. É claro que com uma régua de cálculo é possível também fazer divisões, extrair raízes quadradas e cúbicas, além de calcular os valores de diversas funções trigonométricas.
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quarta-feira

Os Números Figurados (Parte 2)

Vimos na primeira parte deste post, os números figurados explorando as configurações geométricas. Deduzimos que os números triangulares, quadrados e pentagonais são dados por [;T_n = n(n+1)/2;], [;Q_n = n^2;] e [;P_n = n + 3T_{n-1};]. Qual é a expressão geral do enésimo número k-poligonal? 

O que mostraremos neste post que existe uma fórmula simples envolvendo coeficientes binomiais. A expressão geral está relacionada também a uma PA de segunda ordem. 
Seja [;P_k(n);] o enésimo número k-gonal, ou seja, números cuja disposição no plano formam polígonos regulares de [;k;] vértices. Alguns autores preferem usar a notação [;K_n;] para tais números. Com esta notação, os números triangulares e os números quadrados são denotados por [;P_3(n);] e [;P_4(n);] respectivamente.  

Proposição 1: Sejam [;k, n \in \mathbb{N};]. O enésimo número k-gonal, sendo [;k \geq 2;] é dado pela expressão 
[;P_k(n) = {n \choose 1} + (k-2){n \choose 2} \qquad (1);]
Demonstração: Note que o caso [;k=2;], trata-se de [;n;] pontos igualmente distribuídos sobre um segmento de reta, ou seja, [;P_2(n) = n;], não pertencendo a classe dos números poligonais. Para obter a expressão [;P_k(n);] para [;k \geq 3;], observemos que todo polígono com [;k;]vértices pode ser "triangularizado", isto é, dividido em [;k-2;] triângulos, todos tendo um vértice em comum. A figura acima, mostra a triangularização dos números pentagonais formando três triângulos. Deste modo, uma forma de contar o número de pontos é dada pela expressão [;(k-2)P_3(n);]. Mas nesta expressão, os pontos nas diagonais são contados duas vezes, é como ter duas vezes mais diagonais. Em outras palavras, devemos subtrair o número de pontos sobre as diagonais que são dados por [;(k-3)n;]. Logo,
[;P_k(n) = (k-2)P_3(n) - (k-3)n = (k-2)\frac{n(n+1)}{2} - (k-3)n;]
[;=(k-2)\biggl[\frac{n(n+1)}{2} - n\biggr] + (k-2)n - (k-3)n;]
[;=(k-2)\cdot \frac{n(n-1)}{2} + n = {n \choose 1} + (k-2){n \choose 2};]
Para [;k = 4;], segue desta proposição que 

[;Q_n = P_4(n) = {n \choose 1} + 2{n \choose 2} = n + n(n-1) = n^2;]
Exemplo 1: Prove que 

[;P_5(n) = T_{n - 1} + Q_n = P_3(n-1) + P_4(n) \qquad (2);]
De fato, usando a expressão a relação de Stifel e a expressão [;(1);] acima, temos:

[;T_{n-1} + Q_n = {n-1 \choose 1} + (3 - 2){n-1 \choose 2} + {n \choose 1} + 2{n \choose 2};]
[;= {n \choose 1} + \biggl[{n - 1 \choose 1} + {n - 1 \choose 2}\biggr] + 2{n \choose 2};]
[;= {n \choose 1} + {n \choose 2} + 2{n \choose 2} = P_5(n);] 
A expressão [;(2);] pode ser generalizada. Convido ao leitor interessado a provar que 
[;P_{2k+1}(n) = P_{2k}(n) + P_3(n-1);]

Exercícios Propostos:
[;1);] Mostre que para todo [;n \geq 1;], [;(2n+1)^2 = 8T_n + 1;].
[;2);] Mostre que [;Q_{n+1} = Q_n + 2n+1;].

Observação 1: Uma prova geométrica do exercício 1) é obtida observando a figura abaixo. 
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- Os Números Figurados (Parte 1);