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terça-feira

A Espiral de Arquimedes

O tratado Sobre as Espirais de Arquimedes com [;28;] proposições é uma obra singular. Após expor uma série de lemas , Arquimedes define a espiral de modo cinemático: uma reta de extremidade fixa, roda uniformemente sobre um plano. Sobre esta reta, move-se de modo uniforme, um ponto. A curva descrita por este ponto será a espiral.

Em coordenadas polares a relação entre o raio vetor [;r;] e o ângulo [;\theta;] formado pelo raio vetor e o eixo polar é dada por [;r = a\theta;] sendo [;a;] uma constante de proporcionalidade positiva.


Para ver isto, pela definição da espiral de Arquimedes, temos:
[;\frac{dr}{dt} = k_1;]
 e que
 [;\frac{d\theta}{dt} = k_2;]
Assim, pela regra da cadeia,
[;\frac{dr}{d\theta} = \frac{dr}{dt}\cdot \frac{dt}{d\theta} = \frac{k_1}{k_2} = a \quad \Rightarrow \quad r = a\theta;]

Os resultados mais interessantes relativos a essa curva são dois. O primeiro diz respeito à tangente a espiral no ponto [;(0, 2\pi a);].

Proposição 1: Seja [;(0, 2\pi a);] a reta tangente à espiral [;r = a\theta;], sendo [;\theta \geq 0;] no ponto [;P(2\pi a,0);]. Se [;T;] é o ponto de interseção de [;r;] com o eixo [;y;], então [;OT;] é igual ao perímetro do primeiro círculo,
isto é, o círculo centrado na extremidade fixa e raio igual ao raio vetor após uma revolução completa.


Demonstração: Na forma paramétrica a espiral de Arquimedes [;r = a\theta;] é dada por [;f(t)  = (at\cos t,at\sin t);]. O coeficiente angular da reta tangente no ponto [;P(2\pi a,0);] é dado por:
[;m\mid_{t = 2\pi} = \frac{dy}{dx}\mid_{t = 2\pi} = \frac{dy}{dt}\cdot  \frac{dt}{dx}\mid_{t = 2\pi} = \frac{\sin t + t\cos t}{\cos t - t\sin t}\mid_{t = 2\pi} = 2\pi;]

Assim, a equação da reta tangente [;r;] é

[;r: \ y - 0 = 2\pi(x - 2\pi a) \quad \Rightarrow \quad r:\ y = 2\pi x - 4\pi a^2;] 

Para [;x = 0;], segue que
[;y_T = -4\pi^2 a = -2\pi\cdot 2\pi a \quad \Rightarrow \quad OT = 2\pi\cdot OA;]
Proposição 2: A área compreendida entre a primeira revolução da espiral e a reta que gira é igual a [;1/3;] da área do primeiro círculo, isto é, o círculo centrado na extremidade fixa e raio igual ao raio vetor após uma revolução completa, isto é,
[;S = \frac{1}{3}\pi\cdot (2\pi a)^2;]



Demonstração: De fato, usando a fórmula de integração para o cálculo de áreas em coordenadas polares, temos:

 [;S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}r(\theta)^2d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^2\theta^2d\theta;]
 [;=\frac{a^2}{6}\int_{0}^{2\pi}\theta^2d\theta = \frac{\pi}{3}\cdot (2\pi a)^2;]
Sendo [;r(2\pi) = 2\pi a;], segue o resultado.

Proposição 3: Considere a tangente em um ponto [;P_1;] da espiral [;r = a\theta;], sendo [;\theta \geq 0;] e suponha que a reta [;OT;], que é perpendicular a [;OP;]na origem [;O;], encontra essa tangente em [;T;]. Então [;OT;] é igual ao comprimento do arco [;A\widehat{S}P_1;] com centro [;O;] traçado do eixo polar ao ponto [;P_1(r_1,\theta_1);]. 

Demonstração: Note que 
[;A\widehat{S}P_1 = r_1\theta_1 \qquad (1);]
Do post, Retas Tangentes em Coordenadas Polares, vimos que [;\tan \psi = \frac{r(\theta)}{r^{\prime}(\theta)};] . Sendo [;r(\theta) = a\theta;], temos 
[;\frac{OT}{OP_1} = \tan \psi = \frac{r(\theta_1)}{r^{\prime}(\theta_1)} = \frac{a\theta_1}{a} = \theta_1 \quad \Rightarrow;]
[;OT = r_1\theta_1 \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], segue que [;OT = A\widehat{S}P_1;].

Pode-se conseguir uma solução elegante do problema da quadratura com a espiral de Arquimedes que, efetivamente, foi utilizada por Arquimedes com essa finalidade. Para isso, tracemos o círculo de centro [;O;] e raio igual a [;a;]. Então [;OP;] e o arco do círculo entre as semirretas [;OA;] e [;OP;] são iguais. Como a área [;S;] do círculo é a metade do produto de seu raio pela sua circunferência ([;S = Ca/2;]), temos 
[;S = \biggl(\frac{a}{2}\biggr)\cdot 4OP = (2a)\cdot (OP);]
Assim, o lado do quadrado pretendido é a média proporcional entre [;2a;] e [;OP;], ou entre o diâmetro do círculo e o comprimento do raio vetor da espiral que é perpendicular a [;OA;]. 

Através da espira de Arquimedes, podemos também trisseccionar ou mais geralmente, multiseccionar um ângulo [;A\hat{O}B;]. Veremos esta propriedade em um post futuro.

Sobre as espirais foi uma obra que exerceu grande fascínio em homens como François Viéte [;(1540-1603);], inventor da álgebra simbólica e de sua aplicação à geometria. Além disso, Arquimedes em sua obra mescla argumentos cinemáticos e geométricos que impressionava Galileu.

Referências Bibliográficas:
- Eves, Howard. História da Matemática. Editora da Unicamp. Campinas-SP, 2002.
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. Editora Mc Graw-Hill, São Paulo, 1987.

Gostará de ler também:
- Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes (Blog O Baricentro da Mente);
- O Sistema de Coordenadas Polares;

- O Problema do Bode Faminto;
- A Área do Segmento e da Calota Esférica;
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa).

sexta-feira

O Jogo dos Hexágonos

Figura 1: Tabuleiro 5x5 de hex-7 em que o jogador com as peças azuis foi vencedor.

O jogo dos hexágonos ou hex-7 é um jogo que envolve muito raciocínio lógico, treinando o raciocínio lógico e a concentração. Inventado em 1942 pelo dinamarquês Piet Hein e independentemente pelo ganhador do Prêmio Nobel em Economia Jonh Nash Jr em 1948. Nash era um entusiasta deste quebra-cabeça, praticando com os amigos do departamento de matemática das universidades onde estudou. Em 1952, ele foi produzido em série.

O menor tabuleiro é o 5x5 que é formado por 5 linhas compostas por 5 hexágonos lado a lado, ideal para principiantes (veja a figura 1 acima). Na figura 2 seguinte temos um tabuleiro 9x9.

Figura 2: Tabuleiro 9x9 de hex-7 em que o jogador com as peças azuis foi vencedor.
 
Regras: O hex-7 é um jogo disputado entre dois jogadores em um tabuleiro 5x5, 6x6, 7x7, 8x8 ou 9x9. Outras configurações populares são 11x11, 13x13 e 19x19. No livro A Beatiful Mind, Jonh Nash defendeu que um tabuleiro 14x14 é de tamanho ideal.  
Figura 3: Tabuleiro 14x14 de Hex-7

No site http://matematica.no.sapo.pt/hex/hex.html temos a opção de jogar contra o computador o qual usa as peças azuis conforme as figuras acima. O objetivo do jogo para cada jogador é conectar seus lados do tabuleiro com uma corrente inteira de suas próprias partes. Para o azul, a corrente das partes azuis funcionaria da parte inferior para a parte superior. Para o vermelho, da esquerda para a direita. As vermelhas jogam primeiro e o primeiro que formar a corrente é o vencedor. Na figura 4 abaixo, temos uma configuração final em um tabuleiro 5x5 onde as peças vermelhas foram vencedoras. 
 Figura 4: O jogador com a peças vermelhas vencem o jogo.
A estratégia básica para ganhar o jogo é criar pontes que conectem suas duas bordas do tabuleiro e impedir que o adversário crie pontes. Jogar mais perto do centro da placa no início do jogo, permite a criação de pontes mais facilmente. Para uma análise mais rigorosa do jogo, considere o tabuleiro 3x3 abaixo.
Figura 4: Tabuleiro 3x3 de Hex-7

As casas a1, b2 e c3 formam a diagonal principal e se o jogador das vermelhas iniciar a partida em uma destas casas, pode obter uma vitória. É possível ver também que se o jogador iniciar a partida em um dos cantos agudos do tabuleiro (a3 ou c1) também pode obter uma vitória. 

Um fato provado pelo próprio Nash é que no jogo haverá sempre um vencedor. Existe uma estratégia vencedora para o jogador que faz o primeiro movimento. No entanto, a estratégia é não-construtiva: ele só mostra a existência de uma estratégia vencedora, sem descrevê-la explicitamente. Encontrar uma estratégia explícita tem sido o principal tema de pesquisa desde então.  

Referências Bibliográficas:

Gostará de ler também:

quarta-feira

Uma Abordagem Sobre o Preço Ótimo de Venda

Definir o preço de venda de um produto industrial ou artesanal é algo muito complexo. Sabemos que o preço de venda deve ser de tal forma, que a receita obtida seja maior que os custos de produção, mas também não deve ser muito elevado, pois corre o risco de obter uma receita baixa. Em ambas as situações, buscamos um "preço ótimo de venda" de modo que o lucro seja máximo. 

Neste post, veremos um modo analítico e uma geométrica de obter o preço ótimo de venda de um produto. Para isso, adotaremos duas hipóteses plausíveis. 

Hipótese 1: Os custos de produção é proporcional a quantidade produzida [;x\;], ou seja, [;C(x) = kx;], sendo [;k \geq 0;].

Hipótese 2: O preço de venda [;p(x);] decresce linearmente com a quantidade produzida, ou seja,
 [;p(x) = mx + b \qquad (1);]
com [;m \prec 0;].

Suponhamos agora que para um determinado período de tempo é vendido [;x_1;] unidades de um produto a um preço [;p_1;] e para um preço de venda [;p_2;], ([;p_2 \prec p_1;]) é vendido [;x_2;] unidades deste mesmo produto. Pela hipótese 2, temos o seguinte gráfico:
Nosso objetivo, é achar [;x^{\ast} \succ 0;] tal que o lucro seja máximo. Observe que o preço ótimo de venda é dado por [;p(x^{\ast});]

Proposição 1: O ponto [;(2x^{\ast},k);] pertence ao gráfico da função preço [;p(x);]
Demonstração: Pela hipótese 1, a função custo é [;C(x) = kx;]. A receita [;R(x);] é igual ao produto de unidades vendidas pelo preço de venda, ou seja, 

[;R(x) = xp(x) = x(mx + b) = mx^2 + bx \qquad (2);]

pela expressão [;(1);]. Sendo o lucro dado por [;L(x) = R(x) - C(x);], segue que 

[;L(x) = mx^2 + bx - kx = mx^2 + (b - k)x;]

Sendo [;m \prec 0;], a função quadrática [;L(x);]  assume um valor máximo para [;x = x_v;]. Assim, 
[;x^{\ast} = -\frac{b - k}{2m} = \frac{k - b}{2m} \quad \Rightarrow;] 

[;2mx^{\ast} = k - b \qquad (3);]
 Por outro lado, 
[;m = \frac{\Delta p}{\Delta x} = \frac{p_1 - p_2}{x_1 - x_2} \qquad (4);]
e
[;b = p_1 - mx_1 = p_1 - \frac{p_1 - p_2}{x_1 - x_2}\cdot x_1 = \frac{p_1(x_1 - x_2) - (p_1 - p_2)x_1}{x_1 - x_2} \quad \Rightarrow;] 

[;b = \frac{p_2x_1 - p_1x_2}{x_1 - x_2} \qquad (5);]
Substituindo [;(4);] e [;(5);] na expressão [;(3);], temos:

[;\frac{2(p_1 - p_2)}{x_1 - x_2}x^{\ast} = k + \frac{p_1x_2 - p_2x_1}{x_1 - x_2} \quad \Rightarrow;]
[;2(p_1 - p_2)x^{\ast} = k(x_1 - x_2) + p_1x_2 - p_2x_1 \quad \Rightarrow;]
 [;2x^{\ast}(p_1 - p_2) - (x_1 - x_2)k + x_1p_2 - p_2x_1 = 0 \quad \Rightarrow;]
[;2x^{\ast}\begin{vmatrix}p_1 & 1\\p_2 & 1\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}x_1 & 1\\x_2 & 1\end{vmatrix}k + \begin{vmatrix}x_1 & p_1\\x_2 & p_2\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow;]
[;\begin{vmatrix}2x^{\ast} &  k & 1\\ x_1 & p_1 &  1\\x_2 & p_2 & 1\end{vmatrix} = 0;] 
Exemplo 1: O custo para fabricar uma caixa de madeira é [;R\$ \ 6,00;]. Ao preço de [;R\$ \ 15,00;] são vendidas [;20;] caixas no período de um mês e ao preço de [;R\$ \ 10,00;] são vendidas [;40;] caixas neste mesmo período. Com a hipótese que o preço varia linearmente com a quantidade produzida, determine o preço ótimo de venda. 

Resolução: Neste caso, [;k = 6;], [;p_1 = 15;], [;x_1 = 20;], [;p_2 = 10;] e [;x_2 = 40;]. Pela Prop. 1, temos: 
[;\begin{vmatrix}2x^{\ast} & 6 & 1\\20 & 15 & 1\\40 & 10 & 1\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow \quad 10x^{\ast} + 120 - 400 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^{\ast} = 28\ caixas;]

O ponto [;(x^{\ast},p(x^{\ast}));] também pertence ao gráfico de [;p(x);]. Assim,
 [;\begin{vmatrix}28 & p(28) & 1\\20 & 15 & 1\\40 & 10 & 1\end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow \quad p(28) = 13\ reais;]
Observe que o lucro obtido com a venda [;20;] caixas é [;R\$ \ 180,00;] e o lucro obtido com a venda de [;40;]caixas ao preço de [;R\$ \ 10,00;] por caixa é igual a [;R\$ \ 160,00;]. Adotando o preço de [;R\$ \ 13,00;] por caixa, estima-se que venderemos [;28;] caixas com um lucro de [;L(28) = 28\times 13 - 28\times 6 = 196\ reais;]

Veremos na proposição seguinte um método geométrico para achar a quantidade ótima a ser vendida [;x^{\ast};] e o preço ótimo de venda [;p(x^{\ast});]
Proposição 2: Considere o gráfico do preço de venda [;p(x);] versus a quantidade vendida [;x\;] conforme a figura abaixo. Se [;OA = CD = k;] (custo unitário de um produto), então [;OB = x^{\ast};]

Demonstração: De fato, [;\triangle OAB \simeq \triangle BCD;], pois [;OA = CD;], [;A\hat{O}B = C\hat{D}B = 90^{\circ};] e [;O\hat{B}A = C\hat{B}D;] são opostos pelo vértice. Assim, [;OB = BD;]. Sendo [;CD = k;], então [;OD = 2x^{\ast};], pois o ponto [;(2x^{\ast},k);]  pertence ao gráfico de [;p(x);] pela Prop. 1. Logo, 

[;2x^{\ast} = OD = OB + BD = 2OB \quad \Rightarrow \quad OB = x^{\ast};]

Em alguns casos, por exemplo, um produto oriúndo do extrativismo, o custo de produção é nulo. Com a hipótese que o preço decai linermente com a quantidade vendida, podemos também determinar o preço ótimo de venda sabendo o preço e quantidade de dois pontos do gráfico [;p(x);]. Este resultado é apresentado no corolário abaixo.

Corolário 1: Se o custo de produção é nulo, então o preço ótimo de venda é igual a [;p(0)/2;].
Demonstração: Considere a figura acima. Neste caso, [;k = 0;], de modo que [;D = E \ \Rightarrow \ OB = BE;]. Por semelhança de triângulos, temos:
[;\frac{1}{2} = \frac{BE}{OE} = \frac{p(x^{\ast})}{p(0)} \quad \Rightarrow \quad p(x^{\ast}) = \frac{p(0)}{2};]

Corolário 2: Quanto menor o custo unitário de um produto, menor será o preço ótimo de venda. Matematicamente, temos:

[;k_1 \prec k_2 \quad \Rightarrow \quad p(x_{1}^{\ast}) \prec p(x_{2}^{\ast});]
A demonstração segue da figura acima e será deixada para o leitor.

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