O tratado Sobre as Espirais de Arquimedes com Em coordenadas polares a relação entre o raio vetor [;r;] e o ângulo [;\theta;] formado pelo raio vetor e o eixo polar é dada por [;r = a\theta;] sendo [;a;] uma constante de proporcionalidade positiva.
Para ver isto, pela definição da espiral de Arquimedes, temos:
[;\frac{dr}{dt} = k_1;]
e que
[;\frac{d\theta}{dt} = k_2;]
Assim, pela regra da cadeia,
[;\frac{dr}{d\theta} = \frac{dr}{dt}\cdot \frac{dt}{d\theta} = \frac{k_1}{k_2} = a \quad \Rightarrow \quad r = a\theta;]
Os resultados mais interessantes relativos a essa curva são dois. O primeiro diz respeito à tangente a espiral no ponto [;(0, 2\pi a);].
Proposição 1: Seja [;(0, 2\pi a);] a reta tangente à espiral [;r = a\theta;], sendo [;\theta \geq 0;] no ponto [;P(2\pi a,0);]. Se [;T;] é o ponto de interseção de [;r;] com o eixo [;y;], então [;OT;] é igual ao perímetro do primeiro círculo, isto é, o círculo centrado na extremidade fixa e raio igual ao raio vetor após uma revolução completa.
[;m\mid_{t = 2\pi} = \frac{dy}{dx}\mid_{t = 2\pi} = \frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\mid_{t = 2\pi} = \frac{\sin t + t\cos t}{\cos t - t\sin t}\mid_{t = 2\pi} = 2\pi;]
Assim, a equação da reta tangente [;r;] é
[;r: \ y - 0 = 2\pi(x - 2\pi a) \quad \Rightarrow \quad r:\ y = 2\pi x - 4\pi a^2;]
Para [;x = 0;], segue que
[;y_T = -4\pi^2 a = -2\pi\cdot 2\pi a \quad \Rightarrow \quad OT = 2\pi\cdot OA;]
Proposição 2: A área compreendida entre a primeira revolução da espiral e a reta que gira é igual a [;1/3;] da área do primeiro círculo, isto é, o círculo centrado na extremidade fixa e raio igual ao raio vetor após uma revolução completa, isto é,
[;S = \frac{1}{3}\pi\cdot (2\pi a)^2;]
Demonstração: De fato, usando a fórmula de integração para o cálculo de áreas em coordenadas polares, temos:
[;S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}r(\theta)^2d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^2\theta^2d\theta;]
[;=\frac{a^2}{6}\int_{0}^{2\pi}\theta^2d\theta = \frac{\pi}{3}\cdot (2\pi a)^2;]
Sendo [;r(2\pi) = 2\pi a;], segue o resultado.
[;A\widehat{S}P_1 = r_1\theta_1 \qquad (1);]
Do post, Retas Tangentes em Coordenadas Polares, vimos que [;\tan \psi = \frac{r(\theta)}{r^{\prime}(\theta)};] . Sendo [;r(\theta) = a\theta;], temos
[;\frac{OT}{OP_1} = \tan \psi = \frac{r(\theta_1)}{r^{\prime}(\theta_1)} = \frac{a\theta_1}{a} = \theta_1 \quad \Rightarrow;]
[;OT = r_1\theta_1 \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], segue que [;OT = A\widehat{S}P_1;].
[;S = \biggl(\frac{a}{2}\biggr)\cdot 4OP = (2a)\cdot (OP);]
Assim, o lado do quadrado pretendido é a média proporcional entre [;2a;] e [;OP;], ou entre o diâmetro do círculo e o comprimento do raio vetor da espiral que é perpendicular a [;OA;]. Através da espira de Arquimedes, podemos também trisseccionar ou mais geralmente, multiseccionar um ângulo [;A\hat{O}B;]. Veremos esta propriedade em um post futuro.
Sobre as espirais foi uma obra que exerceu grande fascínio em homens como François Viéte [;(1540-1603);], inventor da álgebra simbólica e de sua aplicação à geometria. Além disso, Arquimedes em sua obra mescla argumentos cinemáticos e geométricos que impressionava Galileu.
Referências Bibliográficas:
- Eves, Howard. História da Matemática. Editora da Unicamp. Campinas-SP, 2002.
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. Editora Mc Graw-Hill, São Paulo, 1987.
Gostará de ler também:
- Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes (Blog O Baricentro da Mente);
- O Sistema de Coordenadas Polares;
- O Problema do Bode Faminto;
- A Área do Segmento e da Calota Esférica;
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa).
