Membros

quarta-feira

O Problema do Pulo do Grilo

Muitos problemas físicos podem ser modelados usando ferramentas adequadas da Matemática. Sendo assim, a Cinemática é uma área da Física que pode muito bem ser explorada através da Geometria Analítica, do Cálculo e das Equações Diferenciais. O problema seguinte é um exemplo deste fato.
Considere um tronco cilíndrico de seção circular de raio [;R;] e cujo centro é [;(0,R);]. Um grilo diante deste tronco deseja pulá-lo com menor velocidade inicial [;v_0;] possível. Desprezando o atrito do ar calcule esta velocidade.
Resolução: Conforme a figura abaixo, o problema consiste em achar o menor módulo do vetor velocidade [;\vec{V_1};] de forma que o grilo salte o tronco com seção transversal de raio [;R;].
Nos pontos [;B;] e [;B^{\prime};], a velocidade do grilo é 
[;\vec{V_2} = \vec{V_3} = v_2;]
e o ângulo que o vetor [;\vec{V_2};] faz com a horizontal é [;\beta;]. Por outro lado, o módulo da componente vertical de [;\vec{V_2};] é [;v_0 = v_y = v_2\sin \beta;]. Assim, com o eixo vertical orientado para cima, a função horária do movimento vertical com esta componente é [;v = v_2\sin \beta - gt;]. No ponto [;C;], temos [;t = t_2;] e [;v = 0;], de modo que
[;v_2\sin \beta = gt_2 \qquad (1);]
 onde [;t_2;] é o tempo de vôo do grilo de [;B;] até [;C;]. Ainda no ponto [;B;], o módulo da componente horizontal do vetor [;\vec{V_2};] é [;v_x = v_2\cos \beta;]. Logo, o deslocamento horizontal do grilo de [;F;] à [;O;] é dado por
[;v_2\cos (\beta)t_2 \quad \Rightarrow \quad v_2t_2\cos \beta = FO = R\cos(90^{\circ} - \beta) = R\sin \beta \quad \Rightarrow;]

[;v_2t_2\cos \beta = R\sin \beta \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], obtemos o sistema de equações:
[;\begin{cases}v_2\sin \beta = gt_2\\v_2t_2\cos \beta = R\sin \beta\end{cases};] 
É este sistema que relaciona a parábola aos pontos [;B;] e [;B^{\prime};] de tangência ao círculo e impõe a condição de que a velocidade se anula em [;C;]. Multiplicando membro à membro e cancelando o fator [;t_2\sin \beta;], temos:
[;t_2\sin \beta v_{2}^{2}\cos \beta = t_2\sin(\beta)\cdot gR \quad \Rightarrow \quad v_{2}^{2} = \frac{gR}{\cos \beta};]

O princípio da conservação de energia mecânica afirma que [;E_A = E_B;]. Assim,

[;\frac{mv_{1}^{2}}{2} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg(R + FB) \quad \Rightarrow \quad v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2g(R + FB) \qquad (3);]
Mas,
[;v_{2}^{2} = \frac{gR}{\cos \beta} \qquad (4);]
e
[;FB = R\sin(90^{\circ} - \beta) = R\cos \beta \qquad (5);]

Substituindo [;(4);] e [;(5);] em [;(3);], obtemos
[;v_{1}^{2} = 2gR\bigl[1 + \cos \beta + \frac{1}{2\cos \beta}\bigr];]

Como estamos querendo minimizar [;v_1;] e sendo [;R;] fixo, então, devemos minimizar a expressão

[;\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta;]

e como o grilo está saltando para a direita, só nos interessa os valores de [;\beta;] no intervalo [;0 \prec \beta \prec 90^{\circ};]. Usando o fato de que a média aritmética (MA) de dois números deve ser maior ou igual a média geométrica (MG) deles, temos

[;\frac{1}{2}\biggl[\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta \biggr] \geq 2\sqrt{\frac{2\cos \beta}{\cos \beta}} = 2\sqrt{2};]

Portanto, [;v_{1}^{2};] será mínimo para [;\beta;] se 

[;\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta = 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow;]

[;2\cos^2 \beta - 2\sqrt{2}\cos \beta + 1 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;[\sqrt{2}\cos \beta - 1]^2 \quad \Rightarrow \quad \cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2};]
Logo,
[;v_{1min} = \sqrt{2(1 + \sqrt{2})}\cdot \sqrt{gR} \simeq 2,19\sqrt{gR};]

O que esta resposta não explicita é que na posição para o salto com [;v_1;] mínimo, existe uma distância ideal do grilo ao pé do círculo dado pela projeção horizontal de [;AF;] adicionado ao segmento [;FO;]. Essa distância pode ser obtida em função de [;R;] e [;\beta = 45^{\circ};]. Além disso, este ângulo é formado nos pontos de tangência. Também é interessante observar que a expressão da velocidade mínima é independente do ângulo [;\alpha;].
 
Nota: Tomei conhecimento deste intrigante problema através da Revista Física na Escola, vol. 4, n. 1 de 2003. Desconfiado de que a solução apresentada nesta revista estava errada, resolvi procurar uma outra solução satisfatória, mas também não obtive sucesso. A pouco tempo, propus este problema para o colega Aloisio Teixeira do blog Elementos de Teixeira. Em pouco tempo, ele apresentou esta excelente solução o qual resolvi compartilhar com todos vocês. O blog Fatos Matemáticos em nome de seu autor agradece enormemente por mais esta contribuição.

Gostará de ler também: