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Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 3)

Nos posts Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 1) e Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 2), vimos como podemos usar o teorema de Pitágoras para confeccionar caixas prismáticas. Neste post, veremos como usar este mesmo teorema para confeccionar prismas triangulares retos.

Suponha que o caro colega do DAC, além de encomendas de caixas em formas de paralelepípedo retângulo e em forma de prisma quadrangular regular, receba cinco encomendas de caixas em forma de prisma triangular reto, com as seguintes condições de mercado. 

[;1^{\underline{a}};] Encomenda: as medidas da base de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, a medida do lado menor de cada caixa deve ter [;13\ cm;].

[;2^{\underline{a}};] Encomenda: as medidas da base de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, a medida do lado menor de cada caixa deve ter [;15\ cm;].

[;3^{\underline{a}};] Encomenda: as medidas da base de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, a medida do lado menor de cada caixa deve ter [;20\ cm;].

Pergunta-se:

a) Para atender a primeira encomenda, quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas e quais as dimensões da base de cada caixa?
b) Para atender a segunda demanda, quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas e quais as dimensões da base de cada caixa?
c) Para atender a terceira encomenda, quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas e quais as dimensões da base de cada caixa?

Resolução:
[;a);] Foi visto na primeira parte, que se a medida do lado menor [;(b);] da caixa for um número primo ímpar, então, a medida da diagonal [;(d);] da caixa é dada por:
e [;a = d - 1;]. A figura abaixo é uma caixa em forma de um prisma triangular reto:
Se você, caro leitor, já leu Primeira Parte (e se não leu, é melhor que leia!) então, lembre-se que: só existe um único triângulo pitagórico se a medida do cateto menor [;(a);] for primo ímpar, e as medidas da hipotenusa [;(c);] e do cateto maior [;(b);] são dadas por: 
[;c = \frac{a^2 + 1}{2} \quad \text{e} \quad b = c - 1;] 
Observação 1: Note que, em relação às fórmulas da Primeira Parte, apenas as letras foram trocadas. Como [;a = 13;], logo:

[;c = \frac{13^2 +1}{2} = 85;][;b = c - 1 = 85 - 1 =84;]
Resposta: Só pode ser confeccionada uma caixa, com as seguintes dimensões: [;a = 13\ cm;], [;b = 84\ cm;] e [;c = 85\ cm;]

[;b);] Foi demonstrado na Primeira Parte, que se [;a;] for um número ímpar composto, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de divisores de [;a^2 < k^2;] e, além disso, [;c;] e [;b;] são dados, respectivamente, por:


[;c = \frac{a^2 + k^2}{2k} \quad \text{e} \quad b = c-k;]
Como [;a = 15;], logo, [;a^2 = 15^2 = 225;]. Os divisores de [;225 < 15^2;] são: [;1;], [;3;], [;5;] e [;9;]. Logo,  [;k = 1,3,5;] e [;9;]. Então, temos:

Para [;k=1;], [;c = 113;] e [;b = 112;]
Para [;k = 3;], [;c = 39;] e [;b = 36;] 
Para [;k=5;], [;c = 25;] e [;b = 20;] 
Para [;k = 9;], [;c = 17;] e [;b = 8;] 

Resposta: Poderão ser confeccionadas três caixas diferentes com [;a = 15;]
Observação 2: Note que, para [;k = 9;], as dimensões da base da quarta caixa são [;(a,b,c) = (15\ cm, 8\ cm, 17\ cm);]. Como [;b < a;], logo, [;(15,8,17);] é um terno pitagórico, mas não é um triângulo pitagórico com [;a = 15;].

[;c);] Demosntramos também, na Primeira Parte, que se [;a;] for um número par, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de divisores pares de [;a^2 < k^2;] e, além disso, [;c;] e [;b;] são dados, respectivamente, por:

[;c = \frac{a^2 + k^2}{2k} \quad \text{e} \quad b = c - k;] 
Observação 3: O valor de [;c;] só será um inteiro, se [;2k;] dividir [;a^2;].

Como [;a = 20;], logo, [;a^2 = 20^2 = 400;]. Os divisores pares de [;400 < 20^2;] são [;2;], [;4;], [;8;], [;10;] e [;16;], logo, [;k=2;], [;4;], [;8;], [;10;] e [;16;].

Para [;k = 2;], [;c = 101;] e [;b = 99;] 
Para [;k = 4;], [;c = 52;] e [;b = 48;]
Para [;k = 8;], [;c = 29;]  e [;b = 21;]
Para [;k =10;], [;c = 25;] e [;b = 15;]
Para [;k =16;], [;c = 20,5;] (não serve)

Resposta: Poderão ser confeccionadas três caixas diferentes com [;a = 20;].  

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB.  

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