FATOS MATEMÁTICOS: 2012/10

terça-feira, 30 de outubro de 2012

Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 3)

Nos posts Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 1) e Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 2), vimos como podemos usar o teorema de Pitágoras para confeccionar caixas prismáticas. Neste post, veremos como usar este mesmo teorema para confeccionar prismas triangulares retos.

Suponha que o caro colega do DAC, além de encomendas de caixas em formas de paralelepípedo retângulo e em forma de prisma quadrangular regular, receba cinco encomendas de caixas em forma de prisma triangular reto, com as seguintes condições de mercado.

$[;1^{\underline{a}};]$ Encomenda: as medidas da base de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, a medida do lado menor de cada caixa deve ter $[;13\ cm;]$ .

$[;2^{\underline{a}};]$ Encomenda: as medidas da base de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, a medida do lado menor de cada caixa deve ter $[;15\ cm;]$ .

$[;3^{\underline{a}};]$ Encomenda: as medidas da base de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, a medida do lado menor de cada caixa deve ter $[;20\ cm;]$ .

Pergunta-se:

a) Para atender a primeira encomenda, quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas e quais as dimensões da base de cada caixa?
b) Para atender a segunda demanda, quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas e quais as dimensões da base de cada caixa?
c) Para atender a terceira encomenda, quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas e quais as dimensões da base de cada caixa?

Resolução:
$[;a);]$ Foi visto na primeira parte, que se a medida do lado menor $[;(b);]$ da caixa for um número primo ímpar, então, a medida da diagonal $[;(d);]$ da caixa é dada por:
e $[;a = d - 1;]$ . A figura abaixo é uma caixa em forma de um prisma triangular reto:

Se você, caro leitor, já leu Primeira Parte (e se não leu, é melhor que leia!) então, lembre-se que: só existe um único triângulo pitagórico se a medida do cateto menor $[;(a);]$ for primo ímpar, e as medidas da hipotenusa $[;(c);]$ e do cateto maior $[;(b);]$ são dadas por:

$[;c = \frac{a^2 + 1}{2} \quad \text{e} \quad b = c - 1;]$

Observação 1: Note que, em relação às fórmulas da Primeira Parte, apenas as letras foram trocadas. Como $[;a = 13;]$ , logo:

$[;c = \frac{13^2 +1}{2} = 85;]$ , $[;b = c - 1 = 85 - 1 =84;]$

Resposta: Só pode ser confeccionada uma caixa, com as seguintes dimensões: $[;a = 13\ cm;]$ , $[;b = 84\ cm;]$ e $[;c = 85\ cm;]$ .

$[;b);]$ Foi demonstrado na Primeira Parte, que se $[;a;]$ for um número ímpar composto, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de divisores de $[;a^2 < k^2;]$ e, além disso, $[;c;]$ e $[;b;]$ são dados, respectivamente, por:

$[;c = \frac{a^2 + k^2}{2k} \quad \text{e} \quad b = c-k;]$

Como $[;a = 15;]$ , logo, $[;a^2 = 15^2 = 225;]$ . Os divisores de $[;225 < 15^2;]$ são: $[;1;]$ , $[;3;]$ , $[;5;]$ e $[;9;]$ . Logo, $[;k = 1,3,5;]$ e $[;9;]$ . Então, temos:

Para $[;k=1;]$ , $[;c = 113;]$ e $[;b = 112;]$

Para $[;k = 3;]$ , $[;c = 39;]$ e $[;b = 36;]$

Para $[;k=5;]$ , $[;c = 25;]$ e $[;b = 20;]$

Para $[;k = 9;]$ , $[;c = 17;]$ e $[;b = 8;]$

Resposta: Poderão ser confeccionadas três caixas diferentes com $[;a = 15;]$ .

Observação 2: Note que, para $[;k = 9;]$ , as dimensões da base da quarta caixa são $[;(a,b,c) = (15\ cm, 8\ cm, 17\ cm);]$ . Como $[;b < a;]$ , logo, $[;(15,8,17);]$ é um terno pitagórico, mas não é um triângulo pitagórico com $[;a = 15;]$ .

$[;c);]$ Demosntramos também, na Primeira Parte, que se $[;a;]$ for um número par, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de divisores pares de $[;a^2 < k^2;]$ e, além disso, $[;c;]$ e $[;b;]$ são dados, respectivamente, por:

$[;c = \frac{a^2 + k^2}{2k} \quad \text{e} \quad b = c - k;]$

Observação 3: O valor de $[;c;]$ só será um inteiro, se $[;2k;]$ dividir $[;a^2;]$ .

Como $[;a = 20;]$ , logo, $[;a^2 = 20^2 = 400;]$ . Os divisores pares de $[;400 < 20^2;]$ são $[;2;]$ , $[;4;]$ , $[;8;]$ , $[;10;]$ e $[;16;]$ , logo, $[;k=2;]$ , $[;4;]$ , $[;8;]$ , $[;10;]$ e $[;16;]$ .

Para $[;k = 2;]$ , $[;c = 101;]$ e $[;b = 99;]$

Para $[;k = 4;]$ , $[;c = 52;]$ e $[;b = 48;]$

Para $[;k = 8;]$ , $[;c = 29;]$ e $[;b = 21;]$

Para $[;k =10;]$ , $[;c = 25;]$ e $[;b = 15;]$

Para $[;k =16;]$ , $[;c = 20,5;]$ (não serve)

Resposta: Poderão ser confeccionadas três caixas diferentes com $[;a = 20;]$ .

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB.

Gostará de ler também:

- Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 1);

- Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 2).