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Matrizes (Parte 1)

Buscarei nesta série de posts apresentar as matrizes de uma forma diferente, direcionado aos leitores que estão familiarizado com o assunto. Estaremos mais preocupados com o desenvolvimento axiomático da teoria do que com os diversos exemplos numéricos presentes na maioria dos livros textos. 

O desenvolvimento das matrizes iniciou-se com o matemático inglês Arthur Cayley em 1855. Neste artigo, ele fez questão de salientar que, embora logicamente a ideia de matriz preceda a de determinantes, historicamente ocorreu o contrário, ou seja, os determinantes já eram usados há muito tempo na resolução de sistemas lineares. Quanto às matrizes, Cayley introduziu-as para simplificar a notação de uma transformação linear. 

Para saber mais sobre as contribuições de Arthur Cayley sobre o desenvolvimento das matrizes recomendo o excelente post do blog O Baricentro da Mente: Cayley e a Teoria das Matrizes. Vejamos então o desenvolvimento desta grande teoria que desempenha um papel importante na Álgebra Linear e nos sistema de equações lineares. 

Definição 1: Sejam [;m;] e [;n;] inteiros positivos positivos e [;\mathbb{R};] o conjunto dos números reais. Chama-se matriz a um arranjo retangular em que são dispostos [;m\cdot n;] números em [;m;] linhas e [;n;] colunas. 

Umas matriz é denotada por
 [;A = (a_{ij})_{m\times n};] 
sendo [;a_{ij};] o elemento presente na i-ésima linha e na j-ésima coluna. Na expressão acima, i é o índice da linha e j é o índice da coluna, sendo [;1 \leq i \leq m;] e [;1 \leq j \leq n;]. 

A matriz [;A;] diz-se quadrada se o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, [;m = n;]. Caso contrário, a matriz é dita retangular. Dizemos que [;A;] é uma linha se [;m=1;] e uma matriz coluna se [;n = 1;]

Denotamos por [;M_{m\times n}(\mathbb{R});] o conjunto de todas as matrizes do tipo [;m\times n;] sobre [;\mathbb{R};]. É importante observar que em algumas aplicações de matrizes, faz-se necessário substituir o corpo dos números reais pelo corpo dos números complexos ([;\mathbb{C};]). O conjunto de todas as matrizes do tipo [;m\times n;] sobre [;\mathbb{C};] é denotado por [;M_{m\times n}(\mathbb{C});].

Definição 2: As matrizes 
[;A = (a_{ij})_{m\times n} \qquad \text{e} \qquad B = (b_{kl})_{p\times q};]
são iguais se e somente se [;m = p;], [;n = q;]
[;a_{ij} = b_{ij}, \qquad i=1,\ldots,m, \quad   j=1,\ldots,n;]

Definição 3: Dada a matriz quadrada [;A \in M_{m\times n}(\mathbb{R});], os elementos [;a_{ij};] tais que [;i = j;] são chamados elementos diagonais de [;A;]. Chama-se diagonal principal de [;A;], a sequência ordenada constituída pelos elementos diagonais. A sequência ordenada 
[;a_{n1},a_{n-1,2},\ldots,a_{1n};]
da outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de [;A;].

Exemplo 1: Na matriz quadrada de ordem [;2;] abaixo, os elementos [;1;] e [;-1;] constituem a diagonal principal e os elementos [;0;] e [;2;] constituem a diagonal secundária. 
[;\begin{bmatrix}1 & 2\\0 & -1\\ \end{bmatrix};]

No processo de colocar uma matriz na forma escada ou na fatoração LU surgem as matrizes triangulares que definiremos abaixo. 

Definição 4: Uma matriz quadrada [;A \in M_{n\times n}(\mathbb{R});] diz-se
[;i);] triangular superior se [;a_{ij} = 0;] para [;i > j;].
[;\begin{bmatrix}a_{11}& a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix};]

[;ii);] triangular inferior se [;a_{ij} = 0;] para [;i < j;].
[;\begin{bmatrix}a_{11}& 0 & \ldots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & 0\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix};]
[;iii);] diagonal se [;a_{ij} = 0;] para [;i \neq j;].
[;\begin{bmatrix}a_{11}& 0 & \ldots & 0\\ 0 & a_{22} & \ldots & 0\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ \end{bmatrix};]
É importante uma matriz que representa o elemento neutro no produto matricial que será definido futuramente. Esta matriz é a matriz identidade apresentada na definição a seguir. 

Definição 5: A matriz identidade de ordem [;n;], denotada por [;I_n;], é a matriz diagonal de ordem [;n;] com elementos diagonais iguais a [;1;].
[;I_n = \begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\\vdots & \quad & \quad & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1\\ \end{bmatrix} = [\delta_{ij}]_{n\times n};]
É usual denotar o elemento [;(i,j);] da matriz [;I_n;] por [;\delta_{ij};] (delta de Kronecker).

Definição 6: Chama-se operações linhas elementares as seguintes operações sobre as linhas de uma matriz:
[;i);] Substituição de uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um múltiplo de outra linha;
[;ii);] Permutação de duas linhas de uma matriz;
[;iii);] Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero. 

No próximo post, veremos as operações com as matrizes, tais como soma, produto por escalar e produto matricial, com ênfase na demonstração das propriedades.

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A Calculadora que Soma Frações de Polegadas

No Brasil, adotamos o sistema métrico decimal. Mas é comum também a presença do sistema métrico inglês. Podemos citar, as barras de aço das construções civis, as peças hidráulicas, tais como canos, registros e conexões serem conhecidas através de da medida linear de polegadas. 

Á água em um cano cujo diâmetro é [;1/2;] polegada ou [;1/2^{\prime \prime};] possui maior pressão que em um cano cujo diâmetro é [;3/4^{\prime \prime};]. Este fato é muito conhecido pelos projetistas e pedreiros. 

Existem também nas oficinas mecânicas, ferramentas que estão ordenadas por frações de polegadas.  É comum também a venda de réguas e paquímetros graduadas em polegadas. 

Buscando integrar os estudantes a este sistema de medida e também na prática de adicionar frações, apresento a calculadora que adiciona medidas dadas em frações de polegadas. Esta calculadora é apresentada no site Evil Mad Scientist, onde vocês encontrarão o modelo em pdf para baixar e imprimir.

Na calculadora que eu confeccionei, além do modelo em pdf acima, usei também:

- Um pedaço de papelão de 10x10 cm para uma base obter uma base melhor.
- Um botão pressão de metal de 15 mm que pode ser encontrado nas lojas de aviamentos;
- Um pedaço de papel cartão de 10x10 cm onde será colado o disco de diâmetro menor.

Na figura abaixo, temos a calculadora já confeccionada. 
Os detalhes da confecção também são exibidos no site citado acima. Para ilustrar esta calculadora, vejamos como realizar a operação 

[;\frac{1}{8}^{\prime \prime} + \frac{3}{16}^{\prime \prime};]

A posição inicial é o pequeno quadrado preto no disco externo. Deste modo, colocamos a calculadora na posição inicial e em seguida, giramos o disco menor até a posição de [;1/8^{\prime \prime};] conforme a figura abaixo. 

A partir desta posição, giramos novamente o disco menor até a posição de [;3/16^{\prime \prime};]. O número que se lê abaixo é o resultado da soma:
É importante observar que se o resultado da soma é superior a [;1;], a calculadora exibe apenas a parte fracionária. Por exemplo,
[;\frac{3}{4}^{\prime \prime} + \frac{1}{2}^{\prime \prime} = \frac{5}{4}^{\prime \prime} = 1 \frac{1}{4}^{\prime \prime};]
A calculadora irá exibir apenas a parte fracionária da soma, ou seja, [;1/4^{\prime \prime};]. Além disso, a calculadora não faz subtrações, apenas somas. Fica para os leitores curiosos desvendar este pequeno mistério ou criar outra calculdora que faça as subtrações. 

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