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Diagramas Geométricos Para Resolver o Problema das Torneiras

No post, O Problema das Torneiras, apresentamos este curioso problema cujo objetivo é determinar o tempo de enchimento ou esvaziamento de um tanque com duas ou mais torneiras e um ou mais ralos. 

Acredito que muitos conceitos matemáticos são melhores compreendidos através de fi guras, gráfi cos e diagramas. Pensando nisso, apresentaremos um modo de tratar o problema das torneiras usando uma fi gura que chamaremos de "diagrama dos quadrados". Mas antes, vejamos algumas defi nições e proposições geométricas úteis para elaborar o diagrama dos quadrados. 

Definição 1: Sejam [;x_1, x_2,\ldots, x_n;], [;n;] números reais positivos. Definimos a média harmônica desses números, indicada por [;MH(x_1,\ldots x_n);] como sendo a razão entre o número de termos pela soma dos inversos dos termos, ou seja:
 [;MH(x_1,\ldots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+ \ldots +\frac{1}{x_n}};]
Para o caso em que há [;2;] termos, temos:
[;MH(x_1,x_2) = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2};]
Desta definição e do post anterior, segue que o tempo [;t;] para encher um tanque através da abertura simultânea de duas torneiras é a metade da média harmônica de [;t_1;] e [;t_2;], [;1/3;] da média harmônica de [;t_1,t_2;] e [;t_3;] e assim por diante. Por comodidade, denotaremos por [;h;] a metade da média harmônica de dois números positivos [;x_1;] e [;x_2;], isto é, [;h = MH(x_1,x_2)/2;]. No post anterior, percebe-se que  [;h;]representa o tempo para encher um tanque quando abrimos duas torneiras simultâneamente. Vejamos abaixo, como podemos construir [;h;].

Proposição 1: Suponhamos que [;0 < x_1 < x_2;]. Sejam [;ABCD;] o quadrado de lado [;x_2;] e [;E;] um ponto sobre o prolongamento de [;AB;] tal que [;BE = x_1;] conforme a figura abaixo. Se [;F;] é o ponto de interseção entre [;DE;] e [;BC;], então [;BF = h;].
Demonstração: Note que [;\triangle AED \sim \triangle BEF;], de modo que
[;\frac{BF}{x_2} = \frac{x_1}{x_1 + x_2} \quad \Rightarrow \quad BF = \frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} \quad \Rightarrow \quad BF = h;]

Proposição 2:  Se [;0 < x_1 < x_2;], então [;\frac{x_1}{2} < h < x_1;]. 
Demonstração: De fato, note que
[;\frac{1}{2} = \frac{x_2}{x_2 + x_2} < \frac{x_2}{x_1 + x_2} < 1;]

Mutiplicando ambos os lados por [;x_1;], temos
[;\frac{x_1}{2} < \frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} < x_1;]
donde segue o resultado.
Portanto, a grandeza [;h;] de dois números positivos é menor que esses números, isto é, [;h < x_1 < x_2;].
 
Proposição 3: Suponhamos que [;0 < x_1 < x_2;]. Sejam [;ABCD;] o quadrado de lado [;x_1;] e [;F;] um ponto sobre [;BC;]  tal que [;BF = h;]. Seja [;E;] o ponto de interseção dos prolongamentos de [;AB;] e [;DF;]. Então [;x_2 = BE;].
Demonstração: Por hipótese, [;BF = h;]. Sendo [;\triangle AED \sim \triangle BEF;], então 
[;\frac{BE + x_1}{BE} = \frac{x_1}{BF} \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{x_1}{BE} = \frac{x_1}{\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2}} = \frac{x_1 + x_2}{x_2} \quad \Rightarrow \quad BE = x_2;]
Proposição 4: Sejam [;0 < x_1 < x_2 < x_3;]. Em seguida, construímos os quadrados conforme a figura abaixo. Se [;AB = CD;], então [;CE = MH(x_1,x_2,x_3)/3;].
Demonstração: Pela proposição 2, [;AB = h = x_2x_3/(x_2 + x_3);] e [;CE = x_1CD/(x_1 + CD);]. Por hipótese, [;CD = AB;] de modo que
[;CE = \frac{x_1\cdot AB}{x_1 + AB} = \frac{\frac{x_1x_2x_3}{x_2 + x_3}}{x_1 + \frac{x_2x_3}{x_2 + x_3}} = \frac{\frac{x_1x_2x_3}{x_2 + x_3}}{\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_2 + x_3}};]
[;= \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}} = \frac{1}{3}MH(x_1,x_2,x_3);]

Definição 2: Chamaremos de diagrama dos quadrados a disposição dos três quadrados de lados [;x_1,x_2;] e [;x_3;] conforme a figura da Prop. 4. 

Observe que as figuras das Props. 1 e 3 são partes do diagrama dos quadrados. Da figura da Prop. 1 e do diagrama dos quadrados, podemos resolver geometricamente diversos problemas relacionados com torneiras ou ralos.

Exemplo 1: Uma torneira enche um tanque em [;3;] horas. Outra torneira o enche em [;6;] horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Resolução: Neste caso, o tempo total [;t;] é dado por [;t = h;]. Assim, substituímos na figura da Prop. 1 os dados do problema juntamente com a variável [;t;] conforme a figura abaixo. Por semelhança de triângulos, 
[;\frac{t}{6} = \frac{3}{3 + 6} \quad \Rightarrow \quad t = 2\ h;]
Exemplo 2: Em um tanque temos duas torneiras, [;T_1;] e [;T_2;]. A torneira [;T_1;] enche este tanque em [;4;] horas. As duas juntas enchem o tanque em [;1\ h;] hora e [;20;] minutos. Se abrirmos apenas a [;T_2;], em quanto tempo ela encherá o tanque?

Resolução: Seja [;t_2;] o tempo que a torneira [;T_2;] leva para encher o tanque. Observe que 
[;1h\ 20\ min = 1h + 1/3 h = 4/3\ h;]
Assim, substituímos os dados conforme a figura abaixo, sendo [;MSH(t_1,t_2) = 4/3;], ou seja,
Por semelhança de triângulos,
[;\frac{t_2}{t_2 + 4} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 3t_2 = t_2 + 4 \quad \Rightarrow \quad t_2 = 2 \ h;]
Observação 1: Este mesmo diagrama pode ser usado para resolver problemas que envolvem a média harmônica, podemos citar por exemplo, o problema da velocidade média aprsentado por Hariki (RPM 32). Para isto, basta colocar os dados no diagrama acima, substituindo [;t;] por [;\bar{v}/2;], pois a média harmônica é o dobro da média semi-harmônica de dois números.

Exemplo 3: Abrindo-se a torneira [;T_1;], um tanque ficará cheio em uma hora. Abrindo-se a torneira [;T_2;] ele ficará cheio em duas horas e abrindo-se a torneira [;T_3;] o tanque encherá em [;4;] horas. Em quanto tempo o tanque ficará cheio se abrirmos as torneiras simultâneamente?
Resolução: Como foi feito anteriormente, é possível mostrar que o tempo [;t;] para encher o tanque é [;1/3;] da média harmônica dos tempos [;1;], [;2;] e [;4;]. Em seguida, coloque os dados no diagrama dos quadrados conforme a figura acima. Por semelhança de triângulos,
[;\frac{t_1}{4} = \frac{2}{4 + 2} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{4}{3}\ h;] 
e
[;\frac{t}{1} = \frac{t_1}{1 + t_1} = \frac{4/3}{1 + 4/3} = \frac{4/3}{7/3} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{4}{7}\ h;]

Exemplo 4 : Uma torneira enche um tanque em [;4;] horas e outra enche em [;3;] horas, enquanto que um ralo o esvazia em [;6;] horas. Admitindo o tanque inicialmente cheio e o sistema (torneiras e ralo) funcionando, em quantas horas o mesmo ficará vazio?
 
Resolução: Seja [;t;] o tempo para encher o tanque e [;t_1;] uma variável auxiliar. Usaremos o diagrama dos quadrados com valores positivos para as torneiras que enchem o tanque e negativo para o ralo.
Por semelhança de triângulos,
[;\frac{t_1}{-6} = \frac{4}{4 - 6} \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{4}{-2}\cdot (-6) = t_1 = 12\ h;]
Novamente por semelhança de triângulos, obtemos
[;\frac{t}{3} = \frac{t_1}{t_1 + 6} = \frac{12}{12 + 3} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{12}{5}\ h;]
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