Diagramas Geométricos Para Resolver o Problema das Torneiras

No post, O Problema das Torneiras, apresentamos este curioso problema cujo objetivo é determinar o tempo de enchimento ou esvaziamento de um tanque com duas ou mais torneiras e um ou mais ralos. 

Acredito que muitos conceitos matemáticos são melhores compreendidos através de fi guras, gráfi cos e diagramas. Pensando nisso, apresentaremos um modo de tratar o problema das torneiras usando uma fi gura que chamaremos de "diagrama dos quadrados". Mas antes, vejamos algumas defi nições e proposições geométricas úteis para elaborar o diagrama dos quadrados. 

Definição 1: Sejam [;x_1, x_2,\ldots, x_n;], números reais positivos. Definimos a média harmônica desses números, indicada por [;MH(x_1,\ldots x_n);] como sendo a razão entre o número de termos pela soma dos inversos dos termos, ou seja:

 [;MH(x_1,\ldots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+ \ldots +\frac{1}{x_n}};]

Para o caso em que há termos, temos:

[;MH(x_1,x_2) = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2};]

Desta definição e do post anterior, segue que o tempo para encher um tanque através da abertura simultânea de duas torneiras é a metade da média harmônica de e , da média harmônica de e e assim por diante. Por comodidade, denotaremos por a metade da média harmônica de dois números positivos e , isto é, . No post anterior, percebe-se que  representa o tempo para encher um tanque quando abrimos duas torneiras simultâneamente. Vejamos abaixo, como podemos construir .

Proposição 1: Suponhamos que . Sejam o quadrado de lado e um ponto sobre o prolongamento de tal que conforme a figura abaixo. Se é o ponto de interseção entre e , então .

Demonstração: Note que [;\triangle AED \sim \triangle BEF;], de modo que

Proposição 2:  Se , então [;\frac{x_1}{2} < h < x_1;]. 

Demonstração: De fato, note que

[;\frac{1}{2} = \frac{x_2}{x_2 + x_2} < \frac{x_2}{x_1 + x_2} < 1;]

Mutiplicando ambos os lados por , temos

[;\frac{x_1}{2} < \frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} < x_1;]

donde segue o resultado.

Portanto, a grandeza de dois números positivos é menor que esses números, isto é, .
 

Proposição 3: Suponhamos que . Sejam o quadrado de lado e um ponto sobre   tal que . Seja o ponto de interseção dos prolongamentos de e . Então .

Demonstração: Por hipótese, . Sendo [;\triangle AED \sim \triangle BEF;], então 

Proposição 4: Sejam . Em seguida, construímos os quadrados conforme a figura abaixo. Se , então .

Demonstração: Pela proposição 2, e . Por hipótese, de modo que

[;CE = \frac{x_1\cdot AB}{x_1 + AB} = \frac{\frac{x_1x_2x_3}{x_2 + x_3}}{x_1 + \frac{x_2x_3}{x_2 + x_3}} = \frac{\frac{x_1x_2x_3}{x_2 + x_3}}{\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_2 + x_3}};]

Definição 2: Chamaremos de diagrama dos quadrados a disposição dos três quadrados de lados e conforme a figura da Prop. 4. 

Observe que as figuras das Props. 1 e 3 são partes do diagrama dos quadrados. Da figura da Prop. 1 e do diagrama dos quadrados, podemos resolver geometricamente diversos problemas relacionados com torneiras ou ralos.

Exemplo 1: Uma torneira enche um tanque em horas. Outra torneira o enche em horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio?

Resolução: Neste caso, o tempo total é dado por . Assim, substituímos na figura da Prop. 1 os dados do problema juntamente com a variável conforme a figura abaixo. Por semelhança de triângulos, 

[;\frac{t}{6} = \frac{3}{3 + 6} \quad \Rightarrow \quad t = 2\ h;]

Exemplo 2: Em um tanque temos duas torneiras, e . A torneira enche este tanque em horas. As duas juntas enchem o tanque em hora e minutos. Se abrirmos apenas a , em quanto tempo ela encherá o tanque?

Resolução: Seja o tempo que a torneira leva para encher o tanque. Observe que 

Assim, substituímos os dados conforme a figura abaixo, sendo , ou seja,

Por semelhança de triângulos,

Observação 1: Este mesmo diagrama pode ser usado para resolver problemas que envolvem a média harmônica, podemos citar por exemplo, o problema da velocidade média aprsentado por Hariki (RPM 32). Para isto, basta colocar os dados no diagrama acima, substituindo por [;\bar{v}/2;], pois a média harmônica é o dobro da média semi-harmônica de dois números.

Exemplo 3: Abrindo-se a torneira , um tanque ficará cheio em uma hora. Abrindo-se a torneira ele ficará cheio em duas horas e abrindo-se a torneira o tanque encherá em horas. Em quanto tempo o tanque ficará cheio se abrirmos as torneiras simultâneamente?

Resolução: Como foi feito anteriormente, é possível mostrar que o tempo para encher o tanque é da média harmônica dos tempos , e . Em seguida, coloque os dados no diagrama dos quadrados conforme a figura acima. Por semelhança de triângulos,

 

e

Exemplo 4 : Uma torneira enche um tanque em horas e outra enche em horas, enquanto que um ralo o esvazia em horas. Admitindo o tanque inicialmente cheio e o sistema (torneiras e ralo) funcionando, em quantas horas o mesmo ficará vazio?
 

Resolução: Seja o tempo para encher o tanque e uma variável auxiliar. Usaremos o diagrama dos quadrados com valores positivos para as torneiras que enchem o tanque e negativo para o ralo.

Por semelhança de triângulos,

[;\frac{t_1}{-6} = \frac{4}{4 - 6} \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{4}{-2}\cdot (-6) = t_1 = 12\ h;]

Novamente por semelhança de triângulos, obtemos

[;\frac{t}{3} = \frac{t_1}{t_1 + 6} = \frac{12}{12 + 3} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{12}{5}\ h;]

Gostará de ler também:

- O Problema das Torneiras;
- O Problema das Velas;
- O Problema do Trem.