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O Valor Médio de uma Função

Uma das aplicações interessantes das integrais definidas além do cálculo da área de uma região curvilínea e do volume de um sólido de revolução, é determinar o valor médio de uma função sobre um intervalo [;[a,b];] . Esta grandeza já foi abordada no post Teoremas Relativos a Integral Definda (Parte 3) no qual foi apresentado o Teorema Fundamental do Cálculo. 

A forma apresentada foi através de uma definição, sem muita explicação que a expressão em termos de integral realmente está relacionada com uma média. Pensando sobre este assunto, apresentaremos neste post a média de uma função de uma forma construtiva.
Definição 1: Dado o conjunto de pontos [;\{y_1,y_2,\ldots,y_n\};], o valor médio denotado por [;VM;] é igual a soma desses números divididos por [;n;], ou seja,
[;VM = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} \qquad (1);]
Esta expressão é muito útil para valores discretos. Por exemplo, o valor médio do conjunto de pontos [;\{1.2,1.5,2.4,3.1\};] é [;VM = 2.05;]. Na Matemática e em outros campos da ciência aplicada, existem muitos modelos contínuos os quais precisamos calcular o valor médio. Deste modo surge a pergunta: 

Como calcular o valor de médio de um conjunto contínuo de pontos, tal como uma imagem de uma função contínua definida em um intervalo?

Para responder esta pergunta, seja [;f;] uma função contínua sobre o intervalo [;[a,b];]. Em seguida, dividimos [;[a,b];] em [;n;] subintervalos pelos pontos [;a = x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n = b;]. Para facilitar o entendimento, suponhamos que os intervalos são uniformes. Deste modo, o comprimento de cada um deles é [;\Delta x = (b - a)/n;] conforme a figura abaixo. 
Tome um ponto [;\xi_1;] no subintervalo [;[a,x_1);], [;\xi_2;] em [;[x_1,x_2);] ou em geral, [;\xi_k;] no subintervalo [;[x_k,x_{k+1});] para [;k=0,1,\ldots,n-1;]. O valor médio de [;f;] no conjunto [;\{\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n\};] de acordo com a expressão [;(1);] é:

[;VM = \frac{f(\xi_1) + f(\xi_2) + \ldots + f(\xi_n)}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k);]
Sendo [;n = \frac{b - a}{\Delta x};], segue que
[;VM = \frac{1}{b - a}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x \qquad (2);]
Sendo [;f;] contínua, a medida que aumentamos o número de pontos, a expressão [;(2);] aproxima-se da integral definda de [;f;] sobre [;[a,b];]. Deste modo, definimos a valor médio de [;f;] sobre [;[a,b];] por 

[;VM(f) = \lim_{n \to \infty} VM = \lim_{n \to \infty}\biggl[\frac{1}{b - a}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x\biggr];]

[;= \frac{1}{b - a}\quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)dx \qquad (3);]

Exemplo 1: Determine a temperatura média de uma estufa, sabendo que [;T(t);] é dada pela função 
[;T(t) = -\frac{t^2}{60} + \frac{t}{2} + 20 \qquad t \in [8,18];]

Resolução: Da expressão [;(3);] acima, temos

[;VM(T) = \frac{1}{18-8}\int_{8}^{18}\biggl(-\frac{t^2}{60} + \frac{t}{2} + 20\biggr)dt = 23,5^{\circ} \ C;] 

Teorema 1: Se [;f;] é uma função contínua em [;[a,b];], então existem [;\alpha;], [;\beta \in [a,b];] tal que [;f(\alpha) \leq f(x) \leq f(\beta);] para todo [;x \in [a,b];]. 

A prova envolve conceitos matemáticos sofisticados e portanto neste post, será omitida.  

Corolário 1: Se [;f;] é uma função contínua em [;[a,b];], existe [;c \in [a,b];] tal que [;VM(f) = f(c);]. 

Demonstração: Pelo teorema 1, existem [;\alpha, \beta \in \mathbb{R};] tais que [;m \leq f(x) \leq M;], seando [;m = f(\alpha);]  e [;M = f(\beta);]. Integrando esta desigualdades de [;a;] a [;b;], temos:


[;\int_{a}^{b}mdx \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}Mdx \quad \Rightarrow;]
[;m(b - a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b - a) \quad \Rightarrow \quad m \leq VM(f) \leq M;]

sendo [;f;] contínua, existe [;c \in [a,b];] tal que [;VM(f) = f(c);].

7 comentários:

  1. Você saberia como começar a demonstrar que, combinação de 2n, tomados n a n, dá sempre um numero par?
    Obrigado

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    1. O site não é um fórum de discussões e esta pergunta não está relacionada com o post. Mas, irei abrir uma excessão pois trata-se de uma pergunta interessante. Note que
      [;4^n=(1+1)^{2n}=\sum\limits_{k=0}^{2n}{2n\choose k};]
      [;={2n\choose n}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{2n\choose k}+\sum\limits_{k=n+1}^{2n}{2n\choose k};]

      Nas linhas pares, o triângulo de Pascal é simétrico. Assim, a soma de [;k=0;] a [;k=n-1;] é igual a soma de [;k=n+1;] a [;k=2n;]. Logo,

      [;\frac{(2n)!}{(n!)^2}={2n\choose n}=4^n-2\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}{2n\choose k};]

      donde segue o resultado.

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  2. Oi, Paulo. Interessante o post sobre VM com o uso de integral. Observo que este VM relaciona-se com a média aritmética de infinitos valores infinitesimais. No caso de ser média geométrica, bem que poderia ser usado a operação inversa da derivada exponencial que é aquele limite quando Dx tende a zero de [f(x+Dx)/f(x)]^(1/Dx).

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    1. Não pensei no caso da média geométrica, mas acho que devemos usar o conceito que você comentou acima. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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    2. Oi, Prof.!Quanto tempo! Legal esse assunto. Quando comecei ter contato com integrais as interpretava como médias, talvez por influência da área do trapézio. Acho um modo interessante de ver integrais. Quanto à sugestão do Aloísio, caso queiramos achar a média geométrica de f(x)=x em (o;1] obteremos 1/e, diferente do 1/2 da média aritmética. Obrigado.abçs

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    3. Olá Tavano. Achei interessante essa ideia de calcular a média geométrica de forma contínua. Irei assim que tiver um tempinho, tentar provar este resultado obtido por você. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  3. Muito bom post, bastante esclarecedor. Estava pensando sobre isso outro dia mesmo. Na minha leitura, encontrei um pequeno erro no post. Onde está escrito "Tome um ponto ξ1 no subintervalo [a,ξ1)[..]", deveria ser "Tome um ponto ξ1 no subintervalo [a,x1)".
    Abraço

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