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Dia do Pi 2013: Redefinindo o Número Pi

Antecipando o dia internacional do [;\pi;] que é comemorado todos anos no dia 14/03 ou em inglês 03/14 às 13:59 h da tarde, apresento este post propondo uma reestruturação do número [;\pi;], uma constante que está presente em toda a Matemática. 

Recentemente tomei conhecimento de um artigo interessante do site hypescience a respeito do número [;\pi;]. Neste artigo, o matemático americano Bob Palais afirma que os seres humanos concentraram durante milhares de anos sua atenção e adulação sobre uma constante matemática errada. Segundo ele, duas vezes [;\pi;] e não o [;\pi;] seria o número verdadeiramente sagrado do círculo. 

Neste post, apresentaremos os argumentos favoráveis para adotar essa nova constante, que desde do ano passado, recebeu o nome tau, ou seja, [;\tau = 2\pi;] por definição. É importante ressaltar que o movimento [;\tau;] tem crescido constantemente, com seus membros crescendo querendo substituir o [;\pi;] em livros-textos e calculadoras. 

Definição 1: A constante [;\tau;] é a razão entre a medida da circunferência e o raio [;r;].

Desta definição, segue que [;C = \tau r;]. Além disso, os matemáticos não estão dizendo que o [;\pi;] é mal calculado, o que eles argumentam é que a constante [;\tau;] é mais apropriada quando trata-se de assuntos relacionados com os círculos.

Para ver isso, sabemos que um arco de uma volta representa [;2\pi;] radianos, meia-volta [;\pi;] radianos e [;1/4;] de volta representa [;\pi/2;] radianos. Note que há uma discrepância entre os denominadores dos arcos e da medida deles usando [;\pi;]. Usando a constante [;\tau;], temos

Arco de uma volta [;= \tau \ rad;]
Arco de meia-volta [;=\tau/2 \ rad;]
Arco de um quarto de volta [;=\tau/4 \ rad;] e assim por diante. 

Segundo o matemático britânico Kevin Houston, o argumento mais convincente para o [;\tau;] é que ele é um número muito mais natural para se usar em áreas da matemática tais como Trigonometria, Geometria e Cálculo Avançado. 

Uma forma intuitiva de deduzir a área do círculo de raio [;r;] é inscrever é dividir a circunferência em [;n;] partes iguais de modo a formar um polígono regular inscrito de [;n;] lados. Ligando cada vértice deste polígono ao centro do círculo, teremos [;n;] triângulos isósceles. Denotando por [;h;] a altura de cada um destes triângulos e por [;l;] a base, segue que 
[;S \simeq \frac{nlh}{2} = \frac{(nl)h}{2} \to \frac{Cr}{2} \qquad (1);]

a medida que aumentamos [;n;], sendo [;C;] a medida da circunferência. Da expressão [;(1);], vemos que a área do círculo é equivalente a área de um triângulo cuja base é a medida da circunferência e a altura é o raio. Usando a constante [;\tau;], o fator [;1/2;] na expressão acima é mantido, ou seja, 

[;S = \frac{\tau r\cdot r}{2} = \tau \frac{r^2}{2};]

Arquimedes afirmou que a razão entre o cilindro circunscrito e a esfera é igual a [;3/2;], mas isto não é visto de forma natural usando [;\pi;]. Em termos de [;\tau;], o volume da esfera é 

[;V_e = \frac{4\pi r^3}{3} = \frac{2}{3}\cdot 2\pi \cdot r^3 = \frac{2\tau r^3}{3};]
e o volume do cilindro circunscrito é dado por 
[;V_c = \frac{\tau r^2}{2}\cdot 2r = \tau r^3;]
Logo, 
[;\frac{V_c}{V_e} = \frac{\tau r^3}{2\tau r^3/3} = \frac{3}{2};]

Resumidamente, temos outras fórmulas matemáticas que expressas em termos da constante [;\tau;] são mais simétricas e simples. 

1) [;T = \tau \sqrt{\frac{l}{g}};] (período de um pêndulo simples para baixas amplitudes)
2) [;e^{\tau i} = 1;] (fórmula de Euler)
3) 
(transformadas direta e inversa de Fourier)
4) [;\cos(x + \tau) = \cos x;] e [;\sin(x + \tau) = \sin x;] (periodicidade das funções seno e cosseno)
5) [;\frac{\tau}{8} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots;] (fórmula de Leibniz)
6) [;S = \tau \int_{a}^{b}y\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}dx;]  (área de superfície de um sólido de revolução em torno do eixo [;x;].

É claro que a primeira vista, esta constante não acrescenta nada de novo, mas todo matemático está em busca da perfeição, de uma teoria mais ampla e de expressões mais simples e simétricas. Pensando assim, as ideias expostas acima tem uma pequena contribuição. 

Gostará de ler também:
- Dia do Pi e a Soma dos Inversos dos Inteiros Positivos ao Quadrado;
- Dia do Pi 2012: Wallis e o Fatorial de 1/2;
- O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 1);
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone.

6 comentários:

  1. Oi, Paulo!

    Excelente o trabalho para homenagear o dia do pi. O número tau é tão prático quanto o pi e tornam algumas fórmulas mais elegantes.

    Outra questão levantada pelos matemáticos é saber se o pi é um número normal, ou seja, se suas casas decimais se comportam como se fossem aleatórias

    Até mais.

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  2. Gostei da constante tau desde da primeira vez que eu conheci e já me considero um defensor desta constante. O problema da normalidade do pi é um problema aberto e acredito que levará muitos anos para prová-la ou refutá-la. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Creio que a razão para utilizarem o pi como constante seja pelo fato de estar relacionado com o raio da circunferência, já que esta é definida pelos pontos equidistantes a um ponto dado (o centro). Se utilizarmos a constante tau, relaciona-se com o diâmetro e perde-se a relação com a definição da circunferência.

    Mas é certo que para outras aplicações como mencionadas neste artigo ficam mais fáceis se escrever. Gostei de ver esta exposição.

    O difícil será quebrar este paradigma, já que o pi foi adotado por praticamente toda a sociedade matemática.

    Um abraço!

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  4. Oi, professor.

    Não gostei muito da ideia, pois o pi é amplamente utiizado e é uma das poucas constantes lembradas pela população em geral. Mas fica a cargo de quem quer e quem não quer usá-lo (o número tau).

    Abraço.

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  5. Bastante coerente o comentário do Kleber Kilhian. De qualquer forma, o Tau e o Pí são números que devem ser amplamente utilizados para a aprendizagem da matemática. Isto é, acredito que falta o número Tau ser abordado nos livros didáticos do ensino básico, assim como é feito com o número Pí. Isso traz ao aluno a oportunidade de escolher para seus cálculos a constante que melhor lhe aprouver.

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  6. Quando se estuda o gráfico da função seno, ele é construído de forma muito mais natural se for usado a constante tau ao invés do pi. Esta é outra vantagem que deve ser ressalta. A ideia para esta constante é recente, talvez um dia ela será inserida nos livros textos de forma que podemos trabalhar com as duas constantes ao mesmo tempo, assim como trabalhamos com polegadas e milímetros. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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