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domingo

Quinta Promoção do Blog (Participem!!)

O blog Fatos Matemáticos em parceria com a EDITORA NOVATEC trás mais uma promoção aos nossos leitores e amigos.

Nesta quinta promoção do blog Fatos Matemáticos o prêmio é o livro "Guia Mangá de Estatística" de Shin Takahashi.

A série Guia Mangá explica as principais matérias científicas e técnicas usando quadrinhos em estilo japonês. Cada guia é escrito por um cientista ou matemático com amplo conhecimento na área e é ilustrado por um profissional em mangá, garantindo a autenticidade e a exatidão que os leitores procuram.
Para participar é simples:

[;1);] Para concorrer você deve ser um seguidor do blog, clicando no botão "seguir" no canto superior da página inicial do blog. Siga o blog de forma pública, de modo a facilitar a posterior localização do perfil.
 
[;2);] Deve também curtir a página Fatos Matemáticos no Facebook. (Click aqui).

[;3);] Apenas os comentários feitos nessa página concorrerão e cada participante receberá dois números por ordem de inscrição.

[;4);] O período de inscrição da Promoção começa hoje ([;27/01;]) e termina assim que atingirmos a marca de [;50;] inscritos.
[;5);] Preencha o cadastro do blog ou deixe um e-mail para contato. A cadastro está na página inicial, lateral direita.
[;6);] O sorteio ocorrerá em um sábado a ser divulgado após o período de inscrição.

Por questão de transparência, a dezena sorteada corresponde as duas primeiras dezenas sorteiadas do jogo LOTOMANIA da Caixa Econômica Federal. No site da caixa click na opção "Ver números na ordem do sorteio". O participante correspondente a primeira dezena sorteada será o vencedor desta promoção. O centésimo inscrito concorre com a dezena 00. 
[;7);] O seguidor premiado receberá em sua casa o prêmio através da ECT - Empresa de Correios e Telégráfos.


[;8);] Devido aos custos, a promoção será restrita apenas as pessoas residentes no Brasil ou que tenha um endereço de entrega no país.

[;9);] De tempos em tempos eu publicarei uma lista com o nome e o número dos concorrentes e apenas os nomes citados nesta lista serão válidos. 
Conheça também outros títulos desta série. 
http://www.novatec.com.br/figuras/capas/9788575222089.gif
http://www.novatec.com.br/figuras/setadir2.gifGuia Mangá de Cálculo Diferencial e Integral
Hiroyuki Kojima e Becom Co. Ltd.
Ano: 2010
Páginas: 256

 
http://www.novatec.com.br/figuras/capas/9788575222935.gif
http://www.novatec.com.br/figuras/setadir2.gifGuia Mangá Álgebra Linear
Shin Takahashi
Ano: 2012
Páginas: 264
 

Use as palavras FATOS MATEMÁTICOS no site da editora Novatec e ganhe 20% na compra de quaisquer um dos livros acima. Conheça a série completa clicando aqui.
Boa sorte a todos! 

quinta-feira

Várias Soluções do Problema 58

Neste post, apresentarei 4 soluções da questão 58 da seção Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 21) enviadas pelo leitor Pedro Roberto de Lima articulador do blog Manthano, o que vem provar que não há uma única forma de resolver um problema e que devemos sempre procurar outros modos e outras teorias para achar sua solução. O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente ao leitor Pedro Roberto por esta contribuição. 

Vejamos o enunciado do problema 58 e as 4 soluções distintas. 

[;58);] Prove que
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n};]
para [;n \geq 2;].

Observação: Com a minha solução apresentada na seção de problemas, temos até o momento 5 soluções distintas. 

Solução 1:

Propriedade 1: Quando [;m \geq 2;], tem-se 

[;\sqrt{m} - \frac{1}{\sqrt{m}}\ < \ \sqrt{m - 1};]

Demonstração: Se a propriedade não vale, então
[;\sqrt{m} - \frac{1}{\sqrt{m}} \geq \sqrt{m - 1} \quad \Rightarrow \quad m-1 \geq \sqrt{m}\cdot \sqrt{m - 1} \quad \Rightarrow;]
[;(m-1)^2 \geq m^2 - m \quad \Rightarrow;]
 [;m^2 - 2m + 1 \geq m^2 - m \quad \Rightarrow \quad m \leq 1;]
o que é um absurdo, pois por hipótese, [;m \geq 2;]. 

Seja 

Note que [;X \subset \mathbb{N};]. Afirmamos que [;X;] é um conjunto vazio. De fato, se [;X \neq \phi;], então pelo princípio da boa ordem, [;X \neq \phi;] possui um elemento mínimo que chamaremos de [;m;]. Como [;m;], temos:

[;\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{k}}= \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots + \frac{1}{\sqrt{m-1}} + \frac{1}{\sqrt{m}} \ < \ \sqrt{m} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{m-1}} < \sqrt{m} - \frac{1}{\sqrt{m}};]

Agora reescrevendo o lado esquerdo como um somatório usando a propriedade 1, concluímos que
[;\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{\sqrt{k}} < \sqrt{m-1};]
o que mostra que [;m - 1 \in X;], o que é um absurdo, pois contraria a minimalidade de [;m;]. Logo, [;X;] é vazio e, portanto,  

[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n}, \quad \forall n \geq 2;]

Solução 2: Usando Cálculo.

 Os casos [;n = 2;] e [;n = 3;] podem ser verificados diretamente, substituindo os valores numéricos na desigualdade e fazendo os cálculos aritméticos elementares.

Para [;n \geq 4;], note que sempre vale [;2\sqrt{n} - 2 \geq \sqrt{n};]. De fato, pela argumentação da contra-positiva, temos:
[;2\sqrt{n} - 2 \ < \ \sqrt{n} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{n} \ < \ 2 \quad \Rightarrow \quad n \ < \ 4;]
 
Logo, em qualquer intervalo de extremos positivos, a soma superior (soma das áreas dos retângulos circunscritos na curva) é sempre maior do que ou igual a integral definida. Assim, como o somatório dado representa uma soma superior no intervalo [;[1,n];] ([;n - 1;] retângulos de base [;1;] e altura [;1/\sqrt{k};]), temos:

[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \int_{1}^{n}x^{-1/2}dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{n} = 2\sqrt{n} - 2;]
Deste modo, quando [;n \geq 4;], temos
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n};]
Isso conclui a demonstração. 

Solução 3: Usando redução ao absurdo e propriedades elementares. 

Se  a afrimação é falsa, então
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \ < \ \sqrt{n} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ < \ \sqrt{n} \quad \Rightarrow;]
[;\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt{n}} \ < \ \sqrt{n};]
pois, 
[;0 < k \leq n \quad \Rightarrow \quad \sqrt{k} \leq \sqrt{n} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}};]
O lado esquerdo da soma acima possui [;n;] parcelas iguais a [;1/\sqrt{n};], de modo que 
[;n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \ < \ \sqrt{n} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{n} < \sqrt{n};] 
Absurdo!

Solução 4: (Usando indução)

Propriedade 2: Para todo natural [;n;], tem-se
[;\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1};]
Prova: Basta tomar a propriedade 1 e pôr [;n+1;] no lugar de [;m;].

Novamente, provaremos a afirmação mais forte que diz: para todo natural [;n \ > \ 0;] vale:
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \ > \ \sqrt{n};]
Para [;n = 1;], o resultado vale, pois
[;\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{1}} =1 \geq 1;]
Supondo que vale para um natural arbitrário [;n;] concluiremos que vale para [;n+1;]. De fato, usando a propriedade 2 na última etapa, temos:
[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n} \quad \Rightarrow;]
 [;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \geq \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \quad \Rightarrow;]
 [;\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \ > \ \sqrt{n+1};]
Gostará de ler também:
- Várias Soluções de um Problema Geométrico;
- O Desafio de Einstein Resolvido.

segunda-feira

Grafos e Matrizes de Adjacência (Parte 1)

O propósito deste post é apresentar os grafos e mostrar como a potência de matrizes pode ser usada na investigação de tais entes matemáticos. Daremos ênfase nas rotas aéreas como exemplos de grafos.

Definição 1: Um grafo é um conjunto de pontos (chamados vértices) e um conjunto de linhas chamados lados que conectam alguns pares de vértices. Dois vértices conectados por um lado são ditos adjacentes. 

Considere o grafo na figura 1 abaixo. 
Fig. 1
Note que dois vértices podem ser conectados por mais de um lado (A e B são conectados por 2 lados distintos), que um vértice não precisa estar conectado a nenhum outro vértice, por exemplo o vértice D e que um vértice pode ser conectado a ele mesmo, que é o caso do vértice F. Outro exemplo de grafo é o mapa gerado pelas rota aéreas em uma região americana conforme a figura abaixo:
Fig. 2
As iniciais acima representam as seguintes cidades:
B = Boston
H = Hyannis
M = Martha`s Vineyard
Na = Nantucket 
Ne = New Bedford
P = Providence
Pr = Provincetown

Na figura 2, os vértices são as cidades e dois vértices são conectados se existe um vôo entre direto entre eles. Algumas perguntas naturais surgem a respeito dos grafos. Pode ser importante saber se dois vértices são conectados por uma sequência de dois lados, mesmo que eles não sejam ligados diretamente por um lado.  

Na figura 1, [;A;] e [;C;] são conectados por uma sequência de dois lados (na verdade, existem quatro formas distintas para ir de A para C em duas etapas) conforme a figura 4 abaixo. 
Fig. 4
No mapa das rotas aéreas na Fig. 2, Provincetown e Hyannis estão conectados por uma sequência de dois lados (Pr-B-H) e (Pr-B-Na-H). Outras perguntas interessantes são: 
[;i);] É possível ir de um vértice para outro vértice?
[;ii);] Sendo possível, qual o número mínimo de passos a serem dados de um vértice a qualquer outro vértice do grafo?

Enquanto essas perguntas são relativamente fáceis de responder para um grafo de pequeno porte, o mesmo não ocorre quando o número de vértices e lados aumentam de forma significativa. As matrizes e o uso de computadores podem nos auxiliar a responder estas perguntas. 

Definição 2: A matriz de adjacência de um grafo com [;n;] vértices é uma matriz quadrada de ordem [;n;] cuja entrada [;(i,j);] é igual a [;1;] se o i-ésimo vértice e o j-ésimo vértice estão conectados e [;0;] caso contrário. 
Na figura 1, [;A;] é o vértice [;1;], [;B;] é o vértice [;2;], etc... de modo que a matriz de adjacência para este grafo é 
 Se os vértices no mapa das rotas aéreas correspondem as cidades: Boston, Hyannis, Martha`s Vineyard, Nantucked, New Bedford, Providence e Provincetown, então a matriz de adjacência é dada por
 Matrizes de adjacência podem ser usadas para responder as seguintes perguntas: 
[;i);] Quais os vértices que estão conectados por uma sequência de dois lados?
[;ii);] Quantas sequências distintas de dois lados conectam cada par de vértices?

Responderemos estas questão na segunda e última parte desta série.

Gostará de ler também:
- Matrizes (Parte 1);
-

sexta-feira

A Conservação da Energia Mecânica (Parte 2)

Vimos na primeira parte o princípio da conservação da energia mecânica em situações que envolvem forças gravitacionais. Nesta parte, veremos que o princípio estende-se para outras situações em que a energia potencial está armazenada em uma mola. Este princípio, juntamente com o princípio da conservação do momento linear possibita aborda outros problemas de mecânica.

Pela lei de Hooke, para pequenas deformações, a força necessária para deformar (comprimir ou alongar) uma mola é proporcional a própria deformação. Matematicamente, podemos escrever [;F = kx;] sendo [;k > 0;] uma grandeza característica de cada mola, chamada de constante de mola.

A energia armazenada em uma mola alongada ou comprimida é igual ao trabalho necessário para alongar ou comprimí-la de uma distância [;x;]. Assim,
[;E = \int_{0}^{x}ksds = \frac{1}{2}ks^2\ \mid_{0}^{x} = \frac{1}{2}kx^2;]
Proposição 1: Um bloco de massa [;m;] oscilando em um plano horizontal sem atrito satisfaz a expressão:
[;\frac{1}{2}kx_{A}^{2} + \frac{1}{2}mv_{A}^{2} = \frac{1}{2}kx_{B}^{2} + \frac{1}{2}mv_{B}^{2};]
sendo [;A;] e [;B;] dois pontos quaisquer entre a trajetória.


 
Demonstração: Para ver isto, podemos adotar sem perda de generalidade que no instante [;t = 0;], o bloco está na posição [;x(0) = x_0;] e sua velocidade seja nula. Assim, pela segunda lei de Newton, temos o seguinte PVI:
[;\begin{cases}mx^{\prime \prime} = -kx\\x(0) = x_0\\x^{\prime}(0) = 0\\\end{cases};]
A equação diferencial pode ser escrita na forma [;x^{\prime \prime} + \frac{k}{m}x = 0;]. Pelo post Equações Diferenciais Ordinárias Ordinárias (Parte 2), a solução geral é dada por
[;x(t) = C_1\cos\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr) + C_2\sin\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr);]
Pelas condições iniciais temos [;C_1 = x_0;] e [;C_2 = 0;]. Assim,
[;x(t) = x_0\cos\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr) \quad \Rightarrow \quad v(t) = x^{\prime}(t) = -x_0\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr);]
Observe que
[;\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}\cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + \frac{1}{2}m[-x_0\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr)]^2;]
[;=\frac{1}{2}kx_{0}^{2}\cos^2\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr) + \frac{1}{2}kx_{0}^{2}\sin^2\bigl(\sqrt{\frac{k}{m}}t\bigr) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2};]
 ou seja, a soma das energias potencial da mola e cinética é constante para qualquer [;x;] ou instante [;t;]. Portanto,
[;\frac{1}{2}kx_{A}^{2} + \frac{1}{2}mv_{A}^{2} = \frac{1}{2}kx_{B}^{2} + \frac{1}{2}mv_{B}^{2};]
Vejamos alguns problemas mecânicos cuja solução envolve a conservação da energia mecânica. 

Exemplo 1:  Uma mola pode ser comprimida [;2\ cm;] por uma força de [;270\ N;]. Um bloco de [;12\ kg;] de massa é liberado a partir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinação é de [;30^{\circ};] . O bloco comprime a mola de [;5,5\ cm;] antes de parar. Determine a distância do bloco até parar. (Problema extraído das notas de aula do Prof. Romero.)
Resolução: Para calcular a constante da mola, temos 
[;F_0 = kL_0 \quad \Rightarrow \quad 270 = 0,02k \quad \Rightarrow k = 13500\ N/m;]

Seja [;D;] a distância que o bloco irá percorrer antes de parar. Parte dessa distância [;(D - L);] o bloco percorre livre e a outra parte [;(L);] ele percorre comprimindo a mola. Inicialmente ele estava em repouso e tinha energia potencial gravitacional, e após o movimento de descida ele volta ao repouso e agora a sua energia e potencial elástica. Aconteceu uma transformação de energia: de potencial gravitacional para potencial elástica. temos portanto que:
[;mgh = \frac{1}{2}kL^2;]
e sendo [;h = D\sin \theta;], segue que 
[;D = \frac{kL^2}{2mg\sin \theta} = \frac{13500\cdot 0,055^2}{2\cdot 12\cdot 9,8\cdot \sin 30^{\circ}} = 0,347\ m;]
Exemplo 2: (AFA 2012) De acordo com a figura abaixo, a partícula [;A;] ao ser abandonada de uma altura [;H;], desce a rampa sem atrito ou resistência do ar até sofrer uma colisão, perfeitamente elástica, com a partícula [;B;] que possui o dobro da massa de [;A;] e que se encontra inicialmente em repouso. Após essa colisão, [;B;] entra em movimento e [;A;] retorna, subindo a rampa e atingindo uma altura igual a 
[;a) \ H;]         [;b) \ \frac{H}{2};]         [;c) \ \frac{H}{3};]        [;d) \ \frac{H}{9};]
Resolução: Pela conservação do momento linear, após a colisão das partículas, temos: 
[;m_Av_{Ai} + m_Bv_{Bi} = m_Av_{Af} + m_Bv_{Bf} \quad \Rightarrow;]
[; m_Av_{Ai} + 0 = m_Av_{Af} + 2m_Av_{Bf} \quad \Rightarrow;]
[;v_{Ai}  - v_{Af} = 2v_{Bf} \qquad (1);]

Pelo teorema da conservação da energia mecânica apresentado no parte 1, segue que:
[;\frac{1}{2}m_Av_{Ai}^{2} + 0 = \frac{1}{2}m_Av_{Af}^{2} + \frac{1}{2}m_Bv_{Bf}^{2} \quad \Rightarrow;]
 [;m_Av_{Ai}^{2} = m_Av_{Af}^{2} + 2m_Av_{Bf}^{2} \quad \Rightarrow;]
 [;(v_{Ai} - v_{Af})(v_{Ai} + v_{Af}) = 2v_{Bf}^{2} \qquad (2);]
Substituindo [;(1);] em [;(2);], obtemos:
[;v_{Ai} + v_{Af} = v_{Bf} \qquad (3);]
De [;(1);] e [;(3);], temos o sistema de equações:
[;\begin{cases} v_{Ai} - v_{Af} = 2v_{Bf}\\ v_{Ai} + v_{Af} = v_{Bf}\\\end{cases};]
 de modo que  [;2v_{Ai} = 3v_{Bf};] obtido adicionando estas expressões. Analogamente, [;2v_{Af} = -v_{Bf};]. Por outro lado, aplicando o teorema da conservação de energia no corpo [;A;] entre as posições[;[1];] e [;[2];], temos:
[;\frac{1}{2}m_Av_{Ai}^{2} + 0 = 0 + m_AgH \quad \Rightarrow \quad v_{Ai}^{2} = 2gH \qquad (4);]

 Após a colisão das partículas, a partícula [;A;] atinge uma altura [;H^{\prime};] exibido na posição [;[3];] e novamente pelo teorema da conservação da energia mecânica, segue que:
[;v_{Af}^{2} = 2gH^{\prime} \qquad (5);]
Dividindo membro a membro as expressões [;(4);] e [;(5);], obtemos:
[;\biggl(\frac{v_{Ai}}{v_{Af}}\biggr)^2 = \frac{2gH}{2gH^{\prime}} = \frac{H}{H^{\prime}} \qquad (6);]
Por outro lado, 
[;\frac{v_{Ai}}{v_{Af}} = \frac{3v_{Bf}/2}{-v_{Bf}/2} = -3 \qquad (7);] 
De [;(6);] e [;(7);], temos a relação [;H^{\prime} = H/9;]. Portanto, [;d);] é a opção correta.

Exemplo 3: (O pêndulo  balístico) Uma bala, de massa [;m;], movendo-se com velocidade [;v;], atinge um pêndulo em repouso, constituído por uma esfera de cêra ou de madeira, de massa [;M;], supensa por um fio vertical (figura abaixo). Se a bala permanece embutida na esfera, e esta sobe até uma altura [;h;], determine o valor da velocidade da bala. 
Resolução: O tempo que decorre desde o instante que a bala atinge o pêndulo, até o instante em que a bala vem ao repouso relativamente à esfera, é muito pequeno, de modo que podemos usar a conservação da quantidade de movimento. Assim, 
[;mv + M\cdot 0 = (M + m)V \qquad (8);]
sendo [;V;] a velocidade do conjunto "bala + bloco" após a colisão. De [;(8);], temos:
[;v = \frac{M + m}{m}V \qquad (9);]
A partir deste instante, a energia cinética do conjunto irá transformando-se em energia potencial, até atingir a altura [;h;]. Assim, pelo teorema da conservação da energia mecânica, segue que 
[;\frac{1}{2}(M + m)V^2 + 0 = 0 + (M + m)gh \quad \Rightarrow;]
 [;\quad V^2 = 2gh \quad \Rightarrow \quad V = \sqrt{2gh} \qquad (10);]
Substituindo [;(10);] em [;(9);], temos:
[;v = \frac{M + m}{m}\sqrt{2gh};]
 Assim, se medirmos [;m;], [;M;] e [;h;], podemos encontrar o valor de [;v;].

Gostará de ler também:
- A Conservação da Energia Mecânica (Parte 1);
- Uma Prova da Famosa Fórmula de Einstein;
- A Equação de Torricelli e a Distância de Frenagem.

segunda-feira

Juros Compostos Através de uma Tabela

O regime de juros compostos é utilizado pelo atual sistema financeiro, pois ele oferece maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples. 

Se o valor presente é [;VP;], a taxa de juros é [;i;] e [;t;] é o tempo de aplicação em meses ou ano, então o montante ou valor futuro é dado pela expressão

[;VF = VP(1 + i)^t \qquad (1);] 

Para calcular [;VF;] ou [;VP;] sendo dados [;i;] e [;t;], temos que usar a função exponencial de uma calculadora científica, principalmente se [;t;] for muito grande. Para achar a taxa de juros [;i;], sendo dados [;VF;], [;VP;] e [;t;], precisamos usar a função raiz enésima ou logaritmos juntamente com a função exponencial de uma calculadora científica. 

Em alguns casos, estamos interessados em conhecer o tempo de aplicação [;t;] de um valor presente [;VP;] sob uma taxa de juros [;i;] para que ele atinja um valor futuro [;VF;]. Nesse caso, também precisamos usar logaritmos. 

Este post, destina-se aos leitores que não possui conhecimento de logaritmos, familiaridade com uma calculadora científica ou uma calculadora HP,  mas necessita solucionar problemas de juros compostos.  

A solução é usar uma calculadora de feirante e a tabela abaixo no qual fornece o valor de acumulação de capital [;VAC;] definido por por:
[;VAC = (1 + i)^t \qquad (2);] 
Tabela1: Fator de acumulação de capital em função de t e i.
 (Click na imagem para ampliar e salvar)

Observação 1: Recomendamos que baixe a tabela 1 em seu computador. Abra um arquivo do Word, acrescente a tabela na forma de figura. Em seguida, imprime o arquivo e use nos exercícios propostos abaixo. 
Note que substituindo [;(2);] em [;(1);], temos que
[;VF = VP\cdot VAC \qquad (3);]
Além disso, para facilitar o entendimento os valores do tempo de aplicação são inteiros positivos e a taxa de juros varia de 0,5% a 6,0%, em conformidade a maioria das taxas presentes no mercado financeiro. 

Definição 1: Chamaremos de uso direto da tabela, quando queremos achar [;VF;] ou [;VP;] sendo dados a taxa de juros [;i;] e o tempo de aplicação [;t;].

Definição 2: Chamaremos de uso inverso da tabela, quando queremos achar [;i;] ou [;t;], sendo dados [;VP;] e [;VF;].

Nos problemas de juros compostos, existem 4 casos possíveis: Dois casos de uso direto da tabela 1 e dois casos de uso inverso da tabela 1. Vejamos o procedimento de cada caso, através de exemplos numéricos. 

Exemplo 1: O capital de R$ 500,00 foi investido em uma aplicação em regime de juros compostos a uma taxa de 2% a.m. (ao mês). Determine o montante ou valor futuro após 10 meses. 

Resolução: Neste caso, [;VP = 500;], [;i = 2/100 = 0,02;] e [;t= 10;]. O que está pedindo é o valor futuro [;VF;].  Como foram dados a taxa [;i;] e o tempo [;t;], faremos o uso direto da tabela 1, calculamos inicialmente o valor de acumulação de capital ([;VAC;]que é dado, segundo a expressão [;(2);] por:

[;VAC = (1 + 2/100)^{10} = 1,02^{10} = 1,218899;]

Este valor foi encontrado na tabela 1 conforme a figura abaixo.
O próximo passo para achar o valor futuro ([;VF;]) é usar a expressão [;(3);], ou seja:
[;VF = 500\cdot 1,21899 = 609,49;]
Logo, o montante ou valor futuro é R$ 609,49.

O próximo exemplo é bem semelhante ao exemplo anterior e caracteriza também pelo uso direto da tabela 1.

Exemplo 2: Qual o valor do capital ou valor presente que aplicado a uma taxa de 5% ao ano, rendeu em 15 anos a quantia de R$ 1300,00?

Resolução: Neste caso, foram dados a taxa anual de 5% = 0,05, o tempo de aplicação [;t = 15;] anos e o montante ou valor futuro [;VF = 1300;] reais. Novamente, faremos o uso direto da tabela 1, calculando o valor de acumulação de capital ([;VAC;])
 [;VAC = (1 + 0,05)^{15} = 1,05^{15} = 2,07893;] 
Usamos agora a expressão [;(3);], para achar o valor presente, ou seja:
[;1300 = VP\cdot 2,07893 \quad \Rightarrow \quad VP = \frac{1300}{2,07893} = 625,32;]
Logo, o valor aplicado inicialmente era de R$ 625,32.

Nos próximos dois exemplos a seguir, faremos o uso inverso da tabela 1. 

Exemplo 3: Qual a taxa de juros empregada por uma instituição financeira sobre o capital ou valor presente de R$ 6000,00 durante 6 meses que gerou o montante de R$ 7813,56?

Resolução: Neste caso, foram dados [;VP = 6000,00;], o tempo de aplicação, [;t = 6;]meses e o valor futuro, [;VF = 7813,56;] reais. Queremos achar a taxa de juros [;i;] e o primeiro passo é calcular o valor de acumulação de capital (VAC) através  da expressão [;(3);], ou seja, 
[;VF = VP\cdot VAC \quad \Rightarrow VAC = \frac{7813,56}{6000} = 1,3023;]
Da expressão [;(2);], segue que 
[;1,3023 = (1 + i)^6;]
Como queremos achar o valor de [;i;] através da tabela 1, procedemos da seguinte maneira: Vá na primeira coluna e localize o tempo de aplicação [;t = 6;] meses. Em seguida, caminhe nesta linha observando os valores de cada quadrícula. Para o valor mais próximo, veja qual a taxa de juros correspondente presente na primeira linha conforme a figura abaixo.
O valor mais próximo de [;1,3023;] é [;1,30226;] que corresponde a taxa de juros de 4,5%. Logo, a resposta do problema é i = 4,5% a.m.

Exemplo 4: Quantos meses são necessários para que o capital ou valor presente de R$ 778,50 aplicado a uma taxa de juros de 2,5% a.m. gere o montante ou valor futuro de R$ 1100,00?

Resolução: Neste caso, temos [;VP = 778,50;], [;i = 0,025;] e [;VF = 1100,00;]. Como anteriormente, calculamos o valor de acumulação de capital ([;VAC;]), ou seja:
[;VAC = \frac{VF}{VP} = \frac{1100}{778,50} = 1,41297;]
Da expressão [;(2);] segue que 
[;1,41297 = 1,025^t;]
Para achar o valor do tempo de aplicação [;t;] através da tabela 1, localizamos a coluna com a taxa de juros de 2,5%. Em seguida, percorremos esta coluna na vertical buscando encontrar uma quadrícula com um valor mais próximo de [;1,41297;]. Para este valor, observamos qual o valor [;t;] correspondente conforme a figura abaixo. 
Logo, o tempo de aplicação é [;t = 14;] meses.

Observação: Em situações práticas, o cálculo do tempo de aplicação [;t;] ou do juros pode não estar presente na tabela 1. Um modo de contornar esta situação sem o uso de uma calculadora científica é através da interpolação linear, conforme o próximo exemplo.

Exemplo 5: Nas mesmas condições do exemplo anterior, ache tempo de aplicação para gerar um montante de R$ 1004,70?

Resolução: Neste caso, temos [;VP = 778,50;], [;i = 0,025;] e [;VF = 1004,70;]. Procedendo como anteriormente, temos [;VAC = 1,2906;], de modo que 
[;1,2906 = 1,025^t;]
Da tabela 1, o valor mais próximo de [;1,2906;] é [;1,28008;] que corresponde a [;t = 10;] meses. O valor seguinte é [;1,31209;] que corresponde a [;t = 11;] meses. Assim, o tempo de aplicação é um pouco mais de [;10;] meses, mas quanto? 

Temos o seguinte esquema:
[;1,28008 \quad \rightarrow \quad 10;]
[;1,2906 \quad \rightarrow \quad x;]
[;1,31209 \quad \rightarrow \quad 11;]
Como os valores são muito próximos, iremos assumir que a variação seja linear, o coeficiente angular de dois segmentos quaisquer é o mesmo, de modo a obter a seguinte igualdade:
[;\frac{x - 10}{1,2906 - 1,28008} = \frac{11 - 10}{1,31209 - 1,28008} \quad \Rightarrow \quad x = 10,33;]

Mas, [;0,33\ meses = 0,33\times 30 \ dias \simeq 10 \ dias;]. Logo, devemos aplicar o dinheiro no período de [;10;] meses e [;10;] dias. 

Exercícios Propostos:
[;1);] O capital de R$ 700,00 foi investido em uma aplicação em regime de juros compostos a uma taxa de 4% a.m. Determine o montante ou valor futuro após 5 meses. Resposta:  R$ 851,66
[;2);] Qual o valor do capital ou valor presente que aplicado a uma taxa de 3% ao ano, rendeu em 6 anos a quantia de R$ 8500,00? Resposta: R$ 7118,62
[;3);] Preciso aplicar R$ 10000,00 por um período de quanto meses, a uma taxa de 5,5% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro desta aplicação? Resposta: 13 meses.
[;4);] Aplicando-se R$ 6000,00 durante um ano, recebi de volta R$ 7173,71. Determine a taxa de juros mensais adotada. Resposta: i = 1,5% a.m.

Comentário Final: Na maioria dos posts publicados, enfatizo as técnicas e as fórmulas algébricas para resolver muitos problemas inclusive as questões de juros compostos de forma rápida e precisa. A opção pelo uso de uma tabela destina-se a todos os leitores que irão prestar concursos públicos, onde o uso da calculadora científica é proibido. Desta forma, o blog desempenha um papel importante para os futuros funcionários públicos da área financeira.

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