Curvas Polares no Wolfram Alpha

Já vimos no post O Sistema de Coordenadas Polares um outro modo de representar curvas no plano dadas pela relação [;r(\theta) = f(\theta);]. Manualmente usamos o sistema acima plotando vários pontos e ligando-os para formar uma curva.

Outra forma prática é usar o site Wolfram Alpha o qual apresentamos vários exemplos abaixo. 

1) Faça o gráfico da circunferência de raio 2 cujo centro está sobre o eixo x e tangente ao eixo y:

Neste caso, a equação cartesiana é dada por 

[;(x - 2)^2 + y^2 = 2^2;]

de modo que 

[;x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 4x;]

Sendo [;r^2 = x^2 + y^2;] e [;x = r\cos \theta;], segue que 

[;r = 4\cos \theta;]

No Wolfram Alpha, digitamos o comando 

PolarPlot[4 \cos \theta, {\theta,0,2 pi}]

2) Faça o gráfico da circunferência de raio 1 cujo centro está sobre o eixo y e tangente ao eixo x:

De forma análoga, temos 

Outras curvas podem ser geradas através do Wolfram Alpha. 

3) Faça o gráfico da cardióide [;r(\theta) = 1 + cos \theta;]

3) Faça o gráfico da rosácea de 4 pétalas [;r(\theta) = cos 2\theta;]

 

Para encerrar ilustramos abaixo o limaçon [;r(\theta) = 1 + 2\sin \theta;] e a rosácea de 16 pétalas [;r(\theta) = \sin 8\theta;]

Gostará de ler também:
- O Sistema de Coordenadas Polares;
- Retas Tangentes em Coordenadas Polares;
- Áreas em Coordenadas Polares (Blog O Baricentro da Mente);
- Curvas Paramétricas no Wolfram Alpha;
- Comprimento de Curvas na Forma Paramétrica e Polar.

Uma Breve História dos Sistemas de Numeração

O conceito de número com o qual estamos familiarizados em nosso mundo moderno e tão essencial na sociedade de nossos dias, evoluiu muito lentamente. Para o homem primitivo, e mesmo para o filósofo da Antiguidade, os números estão intimamente relacionados com a natureza. 

Na verdade é difícil imaginar que alguma civilização de antepassados nossos, mesmo a mais primitiva, não tivesse entre seus valores culturais, não importa  quão limitados fossem estes, pelo menos o embrião da ideia de números. Discernir entre um e dois, por exemplo, é algo que mesmo culturas muito atrasadas com certeza conseguiram atingir. Essa impressão, aliás, é confirmada pela antropologia, através do estudo de culturas primitivas que remanesceram até nossa época. 

Pode-se dizer que o processo de contagem consistia, a princípio, em fazer corresponder os objetos a serem contados com os objetos de algum conjunto familiar: os dedos da mão, do pé, pedras, etc. Por exemplo, os dedos da mão, e se necessário, os dos pés  poderiam ser usados sem dificuldades para indicação de quantos membros tinha uma família. Mas o caso que tratasse de clã ou de um rebanho, a coleção de todos os dedos de um indivíduo poderia ser insuficiente.

Com a necessidade de contagem de uma quantidade maior de objetos como, por exemplo, o número de cabeças de gado ou de dias, o homem sentiu que era necessário sistematizar o processo de contagem e logo os povos de diversas partes do mundo desenvolveram vários sistemas de contagem.  Estabelecia-se então um conjunto de símbolos  juntamente com algumas regras que permitiam contar, representar e enunciar os números. Alguns desses conjuntos continham cinco, outros dez, doze, vinte ou até sessenta símbolos, chamado "símbolos básicos".

Hoje o processo de contagem consiste em fazer corresponder os objetos a serem contados com o conjunto [;\{1,2,3,\ldots\};] e para se chegar à forma atual, aparentemente tão semelhante à anterior, foram necessárias duas grandes conquistas que são intimamente relacionadas: o conceito abstrato de número e uma representação para estes.

A possibilidade de se estender indefinidamente a sequência e, portanto, a existência de números arbitrariamente grandes, foi uma descoberta difícil e está associada às duas conquistas acima citadas. 

Tendo sido escolhido o conjunto de símbolos básicos, os primeiros sistemas, na sua maior parte, tinha por regra formar os numerais pela repetição de símbolos básicos e pela soma de seus valores. Assim, eram os sistemas egípcios, grego e romano. 

Os egípcios há 5000 anos atrás usavam figuras para representar seus numerais, chamados de hieróglifos em uma base 10. Esse sistema usava símbolos diferentes para os números [;1,10,100,1000,\ldots;].

A escrita de um número se baseava no princípio da adição dos valores dos símbolos (princípio aditivo). Por exemplo, 

Mais ou menos na mesma época em que os egípcios desenvolveram seu sistema de numeração hieroglífico, surgiu na Mesopotâmia um sistema com a mesma estrutura que o nosso atual - porém de base 60. Tal como o que usamos hoje em dia, esse sistema era posicional, ou seja, o valor dos símbolos usados dependia de sua posição na escrita do número. 

Este sistema ainda é usado atualmente ao medir o tempo em horas, minutos e segundos e os ângulos em graus. Um símbolo em uma sequência fica então multiplicado por 60 cada vez que avançamos uma casa à esquerda. Nos exemplos que se seguem temos a representação dos números 5, 12 e 43.

Os gregos antigos usaram dois sistemas de numeração. O mais recente, o jônico, era também um sistema de base 10, aditivo, mas com algumas particularidades interessantes. Os símbolos do sistema eram 27. As 24 letras do alfabeto grego e mais 3 letras em desuso. Os gregos também não trabalhavam com o zero. Os valores eram associados às letras da seguinte maneira:

Neste sistema era possível expressar qualquer número inferior a 10000 com quatro letras apenas, o que não deixa de ser uma vantagem.

O sistema de numeração romano, ainda com alguns uso hoje em dia é também decimal aditivo. Os símbolos para 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000 são respectivamente, I, V, X, L, C, D e M. Os símbolos especiais para o 5, 50 e 500, torna mais breve a expressão de um número. Neste sistema, ao invés de justapor sete vezes o símbolo I para indicar o 7, basta escrever VII. Também por uma questão de brevidade o sistema incorporou, ao longo do tempo, um princípio subtrativo:

[;IV = 5 - 1, \quad IX = 10 - 1, \quad XC = 100 - 10;]

O uso da base 2 é muito comum hoje em computação eletrônica. Mas o que é uma opção técnica dos nossos dias foi prática espontânea de muitos povos. Algumas dezenas de tribos de índios americanos, por exemplo, adotavam a base 2.

Uma delas, do oeste americano do século XIX, embora sem possuir uma linguagem escrita, e embora discernindo os números apenas até o seis, contava da seguinte maneira: 1, "urapon"; 2, "okosa"; 3, "okosa-urapun"; 4, "okosa-okosa"; 5, "okosa-okosa-urapun"; 6, "okosa-okosa-okosa"; mais do que 6, "ras". 

Referência Bibliográfica:

- Domingues, Higino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

- Introdução à Teoria dos Números. Grupo de Álgebra. ICEX-UFMG. 

Gostará de ler também:
- A História do Zero (Blog O Baricentro da Mente);
- A História do Símbolo Infinito (Blog O Baricentro da Mente);

- Uma Breve História das Matrizes e Determinantes;
- Conversão de Números Decimais Para a Base Binária e Vice-Versa;
- Advinhando com o Sistema de Numeração Binário.

Uma Identidade Útil Para Provar Desigualdades (Parte 1)

Desigualdades é um dos assuntos favoritos nas Olimpíadas Matemáticas. Sempre fui fascinado por este assunto. Devido a nossa precária matriz curricular das escolas públicas e particulares, o estudo das desigualdades restringem a poucos estudantes que são treinados por especialistas para participarem de Olimpíadas. 

Este post, foi baseado em um artigo publicado na revista Mathematical Excalibur, Vol 14, número 1 de março-abril de 2009. Traduzi e acrescentei algumas passagens com o objetivo de tornar a leitura mais agradável. 

Existem muitos métodos para provar desigualdades. Aqui no blog já apresentei uma técnica que usa funções do [;1^{\circ};] grau, e agora apresento uma técnica baseada em uma identidade algébrica e em outras desigualdades clássicas. 

Teorema 1: Sejam [;a,b,c \in \mathbb{R};]. Então

[;(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc;] 

Demonstração: Um modo simples de provar esta identidade é desenvolver os dois lados e ver que eles são iguais. Particularmente, eu não gosto desta técnica pois ela não nos fornece nenhuma pista de como esta identidade surgiu. O caminho que irei seguir é construção do segundo membro da identidade a partir do primeiro, isto é, 

[;(a + b)(b + c)(c + a) =;]

[;= (a + b + c)(b + c)(c + a) - c(b + c)(c + a);]

[;=(a + b + c)(bc + ab + c^2 + ac) - c(bc + ab + c^2 + ac);]

[;=(a + b + c)(ab + ac + bc) + (a + b + c)c^2;]

[; - bc^2 - abc - c^3 - ac^2;]

[;=(a + b + c)(ab + ac + bc) - abc;]

Corolário 1: Sejam [;a,b,c \in \mathbb{R};]. Se [;abc = 1;], então

[;(a + b)(b + c)(c + a) + 1 = (a + b + c)(ab + ac + bc);]

Demonstração: Imediata.

Corolário 2: Sejam [;a,b,c \in \mathbb{R};]. Se [;ab + bc + ca = 1;], então

[;(a + b)(b + c)(c + a) = a + b + c - abc;]

Demonstração: Imediata.

Exemplo 1: Sejam [;a,b,c;] números reais positivos tal que 

[;(a + b)(b + c)(c + a) = 1;]

Prove que 

[;ab + bc + ca \leq \frac{3}{4};].

Resolução: Note que 

[;a + b + c = \frac{a + b}{2} + \frac{b + c}{2} + \frac{c + a}{2};]

Pela desigualdade aritmética-geométrica com três termos, segue que

Por outro lado, 

[;abc \sqrt{ab}\cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ca} \leq \frac{(a + b)}{2}\frac{(b+c)}{2}\frac{(c + a)}{2} = \frac{1}{8};]

Pelo Teor. 1, temos:

[;1 = (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc \quad \Rightarrow;]

[;(a + b + c)(ab + ac + bc) = 1 + abc \leq 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} \quad \Rightarrow;]

[;ab + ac + bc \leq \frac{1}{a + b + c}\cdot \frac{9}{8} \leq \frac{2}{3}\cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4};]

Exemplo 2: Sejam [;a,b;] e [;c;] números reais não-negativos tal que [;abc = 1;]. Prove que 

[;(a + b)(b + c)(c + a) \geq 2(1 + a + b + c);]

Resolução: Pelo Cor. 1,

[;(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + ac + bc) - 1;]

Assim, a afirmação acima é equivalente a:  

[;(a + b + c)(ab + ac + bc) \geq 2(1 + a + b + c) + 1;]

ou

[;(a + b + c)(ab + ac + bc -2) \geq 3;]

Mas pela desigualdade aritmética-geométrica, 

[;(a + b + c)(ab + ac + bc - 2) \geq 3\sqrt[3]{abc}(3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} - 2);]

 [;= 3\cdot 1 \cdot (3\cdot 1 - 2) = 3;]

Exemplo 3: Sejam [;a,b;] e [;c;] números reais não-negativos. Prove que 

[;(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca);]

Resolução: Pela desigualdade aritmética-geométrica, 

[;\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc};] 

e

[;\frac{ab + bc + ca}{3} \geq \sqrt[3]{ab\cdot bc\cdot ca} = \sqrt[3]{a^2b^2c^2};]

de modo que 

[;\frac{1}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca) \geq \sqrt[3]{abc}\cdot \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \quad \Rightarrow ;]

[;(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc \geq 8abc;]

Mas, pelo Teor. 1,

ou seja, 

Assim,

[;(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc;]

[;\geq 8(a + b + c)(ab + bc + ca) - (a + b)(b+c)(c + a) \quad \Rightarrow;]  

donde segue o resultado. 

Exercício Proposto: Sejam [;a, b;] e [;c;] números reais não-negativos. Prove que 

[;(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc;]

Gostará de ler também:

- Duas Médias (Parte 1);

- Duas Médias (Parte 2);

- A Desigualdade de Nesbitt. 

A Identidade de Euler e as Equações Cúbicas

Leonhard Euler (1708-1783) foi um grande matemático suíço que fez grandes descobertas em várias áreas da Matemática. Através da identidade [;e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta;] ele apresentou um método, semelhante ao método de Viéte para achar as três raízes de uma equação cúbica.

Toda equação do terceiro grau completa, pode ser transformada em um nova equação que possui as mesmas raízes, mas sem o termo quadrático.  Assim, iniciamos nossos estudos com a equação

[;x^3 + Px - Q = 0 \qquad (1);]

A técnica para resolver esta equação foi desenvolvida por Tartaglia e publicada por Girolamo Cardano em sua obra Ars Magna em 1545. 

Cardano reescreveu a equação [;(1);] na forma [;x^3 + Px = Q;]. Em seguida, da identidade algébrica:

[;(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;]

segue que 

[;(a - b)^3 + 3ab(a - b) = a^3 - b^3;]

Fazendo [;x = a - b;], temos: 

[;x^3 + 3abx = a^3 - b^3;]

Assim, para resolver a equação [;(1);], temos que achar as soluções do sistema de equações nas variáveis [;a;] e [;b;]: 

De (2i), segue que [;a = P/3b;]. Substituindo em (2ii), temos:

[;\biggl(\frac{P}{3b}\biggr)^3 - b^3 = Q \quad (\ast) \Rightarrow;]

 [;\biggl(\frac{P}{3}\biggr)^3 - (b^3)^2 = Qb^3 \quad \Rightarrow;]

[;(b^3)^2 + Qb^3 - \biggl(\frac{P}{3}\biggr)^3 = 0;] 

Assim,

[;b^3 = \frac{-Q \pm \sqrt{\Delta}}{2} \qquad (3);]

onde 

[;\Delta = Q^2 - 4\cdot 1\cdot \bigl(\frac{P}{3}\bigr)^3;]

Note que 

[;\frac{\Delta}{4} = \biggl(\frac{Q}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{P}{3}\biggr)^3:=D;]

onde [;D;] é o discriminante da equação cúbica. Em termos de  [;D;], podemos reescrever [;(3);] na forma:

[;b^3 = -\frac{Q}{2} \pm \sqrt{D} \qquad (4);]

Agora existem três soluções possíveis para a equação [;(3);]. Para achá-las, Euler usou a relação 

[;e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta;]

para definir o número complexo [;\omega;] dado por:

[;\omega:= e^{2\pi i/3} = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3};]

Note que 

[;\omega^3 = (e^{2\pi i/3})^3 = e^{2\pi i} = 1;]

e que [;(\omega^3)^2 = 1^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (\omega^2)^3 = 1;]. Assim, [;1;], [;\omega;] e [;\omega^2;] são as raízes cúbicas de [;1;].
Usando [;\omega;], podemos ver que qualquer número real [;p;] possui três raízes cúbicas dadas por [;\sqrt[3]{p};], [;\sqrt[3]{p}\ \omega;] e [;\sqrt[3]{p}\ \omega^2;]. De fato, 
[;(\sqrt[3]{p})^3 = p;]
[;(\sqrt[3]{p}\ \omega)^3 = p\omega^3 = p;]
[;(\sqrt[3]{p}\ \omega^2)^3 = p(\omega^3)^2 = p\cdot 1^2 = p;]
Assim, dada uma raiz cúbica (real ou complexa) [;\beta;], as demais raízes são [;\omega \beta;] e [;\omega^2\beta;]. Usaremos essas ideias para achar as soluções da equação [;(4);]. 

Para isso, seja [;\beta;] uma raiz cúbica de [;-Q/2 \pm \sqrt{D};]. As outras raízes da equação [;(4);] são [;\omega \beta;] e [;\omega^2\beta;]. Cada solução da equação [;(4);] dá um valor para [;a;] tal que [;ab = P/3;]. Desse modo, seja [;\alpha;] tal que 

[;\alpha \beta = \frac{P}{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{P}{3\beta};]

Note que 

[;\beta^3 = -\frac{Q}{2} \pm \sqrt{D};]

Assim, usando [;(\ast);], temos:

[;\alpha^3 - \beta^3 = \biggl(\frac{P}{3\beta}\biggr)^3 - \beta^3 = Q;]

de modo que [;\alpha - \beta;] é uma raiz da equação cúbica [;x^3 + Px = Q;]. Além disso, note que

[;\alpha\omega^2\cdot \beta \omega = \alpha\beta \omega^3 = \alpha \beta = \frac{P}{3};]

e

[;(\alpha\omega^2)^3 - (\beta\omega)^3 = \alpha^3(\omega^3)^2 - \beta^3\omega^3 = \alpha^3 - \beta^3 = Q;]

 Assim, [;\alpha\omega^2 - \beta\omega;] também é uma raiz da equação  [;x^3 + Px = Q;]. Analogamente, 

de modo que [;\alpha\omega - \beta\omega^2;] também é uma raiz da equação [;(1);]. Logo, 

[;\{\alpha - \beta, \alpha\omega^2 - \beta\omega, \alpha\omega - \beta\omega^2\};]

é o conjunto solução de [;(1);].

Exemplo 1: (Euler) Ache as raízes da equação [;x^3 - 6x = 4;].
Resolução: Aqui [;P = -6;] e [;Q = 4;], de modo que

Portanto, 

[;b^3 = -\frac{Q}{2} \pm \sqrt{D} = -\frac{4}{2} \pm 2i = -2\pm 2i;]

Em seguida, escolhemos adequadamente o sinal da expressão acima, ou seja, 

[;b^3 = -2 + 2i = 2(-1 + i) = 2\sqrt{2}\biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}\biggr);]

 [;= \sqrt{8}e^{3\pi i/4} \quad \Rightarrow \beta = \sqrt[3]{\sqrt{8}}e^{\pi i/4} = \sqrt{2}e^{\pi i/4} = 1 + i;]

Consequentemente, 

Então, [;x = \alpha - \beta = (-1 + i) - (1 + i) \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2;] é uma solução da equação cúbica. As outras raízes são:

[;= 2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12};]

e

Observação: Da identidade trigonométrica

[;\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2};]

segue que 

[;\cos^2 \frac{7\pi}{12} = \frac{1 + \cos 7\pi/6}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2};]

de modo que 

[;\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2};]

Gostará de ler também:
- A Identidade de Euler e as Raízes Enésimas de um Número Complexo;
- O Conjugado de um Número Complexo;
- Fórmulas de Bháskara e Cardano Pelas Relações de Girard-Método de Tavano (Blog Elementos de Teixeira);
- Resolvendo Equações Quadráticas Pelo Método Geométrico de Descartes (Blog O Baricentro da Mente)

O Algoritmo da Divisão de Euclides

"As ideias matemáticas nunca serão bem entendidas se não compreendermos os pilares desta ciência: a Teoria dos Números e a Geometria." 

Prof. Paulo Sérgio

 (Euclides provando um teorema. Escola de Atenas, afresco de Rafael, 1511)

Para contemplar o post de número 700, o blog Fatos Matemáticos apresenta o primeiro de vários posts na área de Teoria dos Números. Sempre gostei desta área, apesar de achá-la mais difícil que muitas outras. Tenho consultado e investigado várias bibliografias e estes pequenos artigos são os resultados das minhas investigações recentes. 

Sabemos, desde a escola primária, que o processo de dividir um inteiro positivo [;a;] por um inteiro positivo [;b;] fornece um quociente [;q;] e um resto [;r;]. Antes de ver este teorema famoso, apresentaremos um lema que será útil para provar a unicidade do algoritmo de Euclides, ou seja, [;q;] e [;r;] são únicos. 

Lema 1: Se [;x, y \in \mathbb{N};] com [;x < y;], então [;x + 1 \leq y;].

Demonstração: Considere o conjunto

[;X = \{x \in \mathbb{N} :  0 < x < 1\};]

Afirmamos que este conjunto é vazio. Para provar isso, suponhamos por absurdo que [;X \neq \phi;]. Como [;X \subset \mathbb{N};] e [;\mathbb{N};] é bem ordenado, existe [;x_0 \in X;] tal que [;x_0 \leq x;], para todo [;x \in X;]. Sendo [;x_0 \in X;], temos que 

[;0 < x_0 < 1 \quad \Rightarrow \quad 0 < x_{0}^{2} < x_0 < 1;] 

Mas então [;x_{0}^{2};] é um elemento de [;X;] menor do que [;x_0;], o que é uma contradição pois contradiz a minimalidade de [;x_0;]. Logo, [;X = \phi;].

Voltando a demonstração do lema, se por absurdo, [;x + 1 > y;], então [;0 < y - x < 1;] com [;y - x \in \mathbb{N};]. Assim, [;y - x \in X = \phi;]. Absurdo. Logo, [;x + 1 \leq y;]. 

O famoso teorema apresentado por Euclides é consequência desta proposição.

Teorema 1: Sejam [;a, b \in \mathbb{Z};] com [;b > 0;]. Então existem únicos [;q, r \in \mathbb{Z};] tais que 

[;a = bq + r;]

onde [;0 \leq r < b;].

Demonstração: (Existência) Podemos supor sem perda de generalidade que [;a \geq 0;], pois se [;a < 0;], substituímos [;a;] por [;-a;]. Quando [;a = 0;], basta tomar [;q = r = 0;]. Assim, podemos supor [;a \geq 1;] e [;a > b;], pois se [;a \leq b;], então [;a = b;] ou [;a < b;]. Se [;a = b;], tomamos [;q = 0;] e [;r = a;]. Agora, seja

[;X = \{a \in \mathbb{N} \mid a = qb + r, \quad \text{com} \quad 0 \leq r < b\};]

Note que [;1 \in X;], pois [;1 = 1\cdot 1 + 0;].

Suponhamos, como hipótese de indução, que o resultado seja válido para todo [;k;], com [;1 \leq k \leq a-1;], isto é, [;\{1,2,\ldots, a-1\} \subset X;].

Como [;a > b > 0;], temos que [;0 < a - b < a;] e, assim, existem, pela hipótese de indução, [;q_1, r \in \mathbb{Z};] tais que

[;a - b = q_1b + r, \qquad 0 \leq r < b;]

Fazendo [;q = q_1 + 1;], obtemos

[;a - b = (q - 1)b + r \quad \Rightarrow \quad a = bq + r, \quad 0 \leq r < b;]

(Unicidade) Suponhamos que existam [;q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb{Z};] tais que 

[;a = bq_1 + r_1, \qquad 0 \leq r_1 < b \quad \text{e} \quad a = bq_2 + r_2, \quad 0 \leq r_2 < b;]

Logo, 

[;bq_1 + r_1 = bq_2 + r_2 \quad \text{se, e somente se} \quad (q_1 - q_2)b = r_2 - r_1;]

Note que [;0 \leq r_2 < b;] e [;0 \leq r_1 < b;], então [;-b < -r \leq 0;], de modo que  

[;-b \leq r_2 - r_1 < b \quad \Rightarrow \quad 0 \leq |r_2 - r_1| < b;]

Assim, 

[;|q_1 - q_2|\cdot b = |r_2 - r_1| < b \quad \Rightarrow \quad 0 \leq |q_1 - q_2| < 1;]. Pelo lema 1, segue que [;|q_1 - q_2| = 0;], pois caso contrário, o conjunto [;X;] não seria vazio. Logo, [;q_1 = q_2;] e consequentemente, [;r_1 = r_2;].

Exemplo 1: Ache o quociente e o resto da divisão de [;-37;] por [;4;]. 

Resolução: Note que [;37 = 4\times 9 + 1;], de modo que 

[;-37 = 4\times (-9) - 1 = 4\times (-9) - 4 + 4 - 1 = 4\times (-10) + 3;]

Logo, [;q = -10;] e [;r = 3;].

Corolário 1: (Algoritmo da divisão) Sejam [;a, b \in \mathbb{Z};] com [;b \neq 0;]. Então existem únicos [;q, r \in \mathbb{Z};] tais que 

[;a = bq + r, \quad \text{onde} \quad 0 \leq r < |b|;]

Demonstração: É suficiente considerar o caso em que [;b < 0;]. Então, [;|b| > 0;] e, pelo Teor. 1, existem únicos [;q_1, r \in \mathbb{Z};] tais que [;a = q_1|b| + r;], onde [;0 \leq r < |b|;]. Como [;|b| = -b;], fazendo [;q = -q_1;], obtemos que 

[;a = -q\cdot (-b) + r = qb + r;]

onde [;0 \leq r < |b|;].

Gostará de ler também:

- Os Naturais e o Princípio da Boa Ordenação;

- O Algoritmo da Divisão de Euclides e a Representação Binomial do mdc(a,b). (Blog Elementos de Teixeira)
- O Algoritmo de Euclides Para Determinação do MDC. (Blog O Baricentro da Mente).

Dia do Pi 2013: Redefinindo o Número Pi

Antecipando o dia internacional do [;\pi;] que é comemorado todos anos no dia 14/03 ou em inglês 03/14 às 13:59 h da tarde, apresento este post propondo uma reestruturação do número [;\pi;], uma constante que está presente em toda a Matemática. 

Recentemente tomei conhecimento de um artigo interessante do site hypescience a respeito do número [;\pi;]. Neste artigo, o matemático americano Bob Palais afirma que os seres humanos concentraram durante milhares de anos sua atenção e adulação sobre uma constante matemática errada. Segundo ele, duas vezes [;\pi;] e não o [;\pi;] seria o número verdadeiramente sagrado do círculo. 

Neste post, apresentaremos os argumentos favoráveis para adotar essa nova constante, que desde do ano passado, recebeu o nome tau, ou seja, [;\tau = 2\pi;] por definição. É importante ressaltar que o movimento [;\tau;] tem crescido constantemente, com seus membros crescendo querendo substituir o [;\pi;] em livros-textos e calculadoras. 

Definição 1: A constante [;\tau;] é a razão entre a medida da circunferência e o raio [;r;].

Desta definição, segue que [;C = \tau r;]. Além disso, os matemáticos não estão dizendo que o [;\pi;] é mal calculado, o que eles argumentam é que a constante [;\tau;] é mais apropriada quando trata-se de assuntos relacionados com os círculos.

Para ver isso, sabemos que um arco de uma volta representa [;2\pi;] radianos, meia-volta [;\pi;] radianos e [;1/4;] de volta representa [;\pi/2;] radianos. Note que há uma discrepância entre os denominadores dos arcos e da medida deles usando [;\pi;]. Usando a constante [;\tau;], temos

Arco de uma volta [;= \tau \ rad;]
Arco de meia-volta [;=\tau/2 \ rad;]
Arco de um quarto de volta [;=\tau/4 \ rad;] e assim por diante. 

Segundo o matemático britânico Kevin Houston, o argumento mais convincente para o [;\tau;] é que ele é um número muito mais natural para se usar em áreas da matemática tais como Trigonometria, Geometria e Cálculo Avançado. 

Uma forma intuitiva de deduzir a área do círculo de raio [;r;] é inscrever é dividir a circunferência em [;n;] partes iguais de modo a formar um polígono regular inscrito de [;n;] lados. Ligando cada vértice deste polígono ao centro do círculo, teremos [;n;] triângulos isósceles. Denotando por [;h;] a altura de cada um destes triângulos e por [;l;] a base, segue que 

[;S \simeq \frac{nlh}{2} = \frac{(nl)h}{2} \to \frac{Cr}{2} \qquad (1);]

a medida que aumentamos [;n;], sendo [;C;] a medida da circunferência. Da expressão [;(1);], vemos que a área do círculo é equivalente a área de um triângulo cuja base é a medida da circunferência e a altura é o raio. Usando a constante [;\tau;], o fator [;1/2;] na expressão acima é mantido, ou seja, 

[;S = \frac{\tau r\cdot r}{2} = \tau \frac{r^2}{2};]

Arquimedes afirmou que a razão entre o cilindro circunscrito e a esfera é igual a [;3/2;], mas isto não é visto de forma natural usando [;\pi;]. Em termos de [;\tau;], o volume da esfera é 

[;V_e = \frac{4\pi r^3}{3} = \frac{2}{3}\cdot 2\pi \cdot r^3 = \frac{2\tau r^3}{3};]

e o volume do cilindro circunscrito é dado por 
[;V_c = \frac{\tau r^2}{2}\cdot 2r = \tau r^3;]
Logo, 
[;\frac{V_c}{V_e} = \frac{\tau r^3}{2\tau r^3/3} = \frac{3}{2};]

Resumidamente, temos outras fórmulas matemáticas que expressas em termos da constante [;\tau;] são mais simétricas e simples. 

1) [;T = \tau \sqrt{\frac{l}{g}};] (período de um pêndulo simples para baixas amplitudes)
2) [;e^{\tau i} = 1;] (fórmula de Euler)
3) 

(transformadas direta e inversa de Fourier)

4) [;\cos(x + \tau) = \cos x;] e [;\sin(x + \tau) = \sin x;] (periodicidade das funções seno e cosseno)
5) [;\frac{\tau}{8} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots;] (fórmula de Leibniz)
6) [;S = \tau \int_{a}^{b}y\sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^2}dx;]  (área de superfície de um sólido de revolução em torno do eixo [;x;].

É claro que a primeira vista, esta constante não acrescenta nada de novo, mas todo matemático está em busca da perfeição, de uma teoria mais ampla e de expressões mais simples e simétricas. Pensando assim, as ideias expostas acima tem uma pequena contribuição. 

Gostará de ler também:
- Dia do Pi e a Soma dos Inversos dos Inteiros Positivos ao Quadrado;
- Dia do Pi 2012: Wallis e o Fatorial de 1/2;
- O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 1);
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone.

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 23)

69) Se [;\alpha;], [;\beta;] e [;\gamma;] são as raízes de [;x^3 - x + 1 = 0;], calcule a expressão

[;A = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} + \frac{1 - \beta}{1 + \beta} + \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma};]

70) (Unificado CESGRANRIO - 1992) Prove que o triângulo [;ABC;] no qual [;\sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C;] é retângulo. 

71) (Unificado CESGRANRIO - 1992) Uma bomba de vácuo consegue em cada sucção, retirar 2 % do gás existente em um recipiente. Quantas sucções serão necessárias para retirar cerca de 99 % do gás no recipiente? (Use [;\log 2 = 0,30103;] e  )

72) Dado o triângulo [;ABC;], prove que 

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 22).

65) Dada a expressão 

[;V_n = \sin x_1\cos x_2 + \sin x_2\cos x_3 + \ldots + \sin x_n\cos x_1;]

onde [;x_1,x_2,\ldots, x_n;] são números arbitrários, mostre que [;V_n \leq n/2;]

Resolução: Pela desigualdade sobre números reais [;2ab \leq a^2 + b^2;], segue que 

[;V_n = \sum_{k=1}^{n-1}\sin x_k\cos x_{k+1} + \sin x_n\cos x_1;]
[;\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{\sin^2 x_k + \cos^2 x_{k+1}}{2} + \frac{\sin^2x_n + \cos^2 x_1}{2};]
[;=\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin^2 x_k + \cos^2 x_k}{2} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2} = \frac{n}{2};]

66) Ache todas as soluções reais do sistema de equações

Resolução: A única solução é obtida fazendo [;x = y = z;]. Para provar este fato, suponhamos por absurdo que [;x \neq y;]. Se [;x > y;], então

[;y = \frac{x^3 + 1}{2} > \frac{y^3 + 1}{2} = z \quad \Rightarrow \quad y > z;]

Mas,

[;z = \frac{y^3 + 1}{2} > \frac{z^3 + 1}{2} = x \quad \Rightarrow \quad z > x;]

Assim, [;y > z > x \quad \Rightarrow \quad y > x;]. Absurdo!

Analogamente, se [;x < y;], então

[;y = \frac{x^3 + 1}{2} < \frac{y^3 + 1}{2} = z \quad \Rightarrow \quad y < z;]

Mas, 

[;z = \frac{y^3 + 1}{2} < \frac{z^3 + 1}{2} = x \quad \Rightarrow \quad y < z < x \quad \Rightarrow \quad y < x;]

Absurdo! Da equação [;x^3 - 2x + 1 = 0;], por inspeção, vemos que [;x = 1;] é uma raiz, de modo que 

[;x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1) = 0;]

As raízes da equação [;x^2 + x - 1 = 0;] são [;x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2};]. Logo, 

[;S = \biggl\{(1,1,1); (1,\frac{-1 - \sqrt{5}}{2},\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})\biggr\};]

67) Sejam [;a,b;] e [;c;] números reais não-negativos tal que [;a + b + c \geq abc;]. Prove que [;a^2 + b^2 + c^2 \geq abc;].

Resolução: Por hipótese, [;a,b,c > 0;]. Suponhamos por absurdo que 

[;a^2 + b^2 + c^2 < abc;]

Assim,

[;abc > a^2 \quad \Rightarrow \quad bc > a;]

[;abc > b^2 \quad \Rightarrow \quad ac > b;]

[;abc > c^2 \quad \Rightarrow \quad ab > c;]

Consequentemente, 

[;a < bc < \frac{b^2 + c^2}{2};]

[;b < ac < \frac{a^2 + c^2}{2};]

[;c < ba < \frac{a^2 + b^2}{2};]

de modo que 

[;a + b + c \leq \frac{b^2 + c^2 + a^2 + c^2 + a^2 + b^2}{2} \leq a^2 + b^2 + c^2 < abc;]

Absurdo!

68) Considere três jarras com capacidade para 3,5 e 8 litros. A jarra de 8 litros está cheia de água. Você é capaz de medir exatamente 4 litros?

Observação: Você não possui outros recipientes para trabalhar e os recipientes não estão marcados, indicando as frações. Você pode despejar a água de um recipiente em outro quantas vezes quiser. 

Resolução: O recipiente menor tem capacidade para 3 litros, o médio 5 litros e o maior 8 litros. Assim, temos as seguintes etapas:

Solução enviada pelo leitor Warles Ribeiro. 

Participe enviando as soluções dos problemas 69), 70), 71) e 72) no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. O prazo para entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 08/04/2013. 

Nasiradin al-Tusi

Nasceu em [;18;] de fevereiro de [;1201;] e faleceu em [;26;] de junho de [;1274;] na região metropolitana de Bagdá. Este matemático é mais conhecido por Tusi no ocidente.

Iniciou seus estudos em idade precoce. Em Hamadan e Tus ele estudou o Alcorão, Hadith, xiita jurisprudência, lógica, filosofia, matemática, medicina e astronomia. Em Mosul, ele estudou matemática e astronomia com Kamal al-Din Yunus. 

Como os exércitos de Genghis Khan varreu sua terra natal, ele foi capturado pelos ismaelitas e fez suas contribuições mais importantes na ciência durante este tempo em que estava se movendo de uma fortaleza para a outra. 

Tusi tem cerca de [;150;] obras em persa e árabe. O Kitab al-Shakl al qattã é um resumo de cinco volumes que trata de trigonometria. O Zij-Ilkhani ou tabelas Ikhanic é um grande tratado astronômico concluído em [;1272;].

Durante sua estada em Nishapur, Tusi estabeleceu uma reputação como estudioso excepcional. Suas obras incluem as versões definitivas árabes das obras de Euclides, Arquimedes, Ptolomeu, Autólico e Teodósio de Bitínia. 

Al-Tusi foi o primeiro a escrever um trabalho sobre trigonometria independentemente da astronomia. Em seu tratado sobre o Quadrilátero, ele deu uma ampla exposição de trigonometria esférica, distinta da astronomia. Foi nas obras de Al-Tusi que a trigonometria alcançou status de um ramo independente da matemática pura, distinta da astronomia. 

Ele foi o primeiro a listar os seis casos distintos de um triângulo retângulo em trigonometria esférica. Em sua Figura Setor, aparece a famosa lei dos senos. Ele também apresentou a lei dos senos para triângulos esféricos juntamente com a lei da tangente para tais triângulos.